Calculus

Blir parabeln toppigare eller vidare?

Varje x du stoppar in flippas och halveras. Det innebär att grafen reflekteras kring yaxeln och blir squishad på bredden (nollställerna är nu 0 och -1).

Edit: breddad, inte squishad.

Smaragdalena skrev:

Blir parabeln toppigare eller vidare?

Jag vet att den blir vidare men hur ska det förklaras? Kan detta beräknas systematiskt eller måste jag alltid analysera och förstå? 

Qetsiyah skrev:

Varje x du stoppar in flippas och halveras. Det innebär att grafen reflekteras kring yaxeln och blir squishad på bredden (nollställerna är nu 0 och -1).

Nollställena upphör att existera då förändringen görs. Hela grafen följer inte med, man klipper av strängarna under x-axeln. Grafen är bara definierad i intervallet $$\begin{gathered} 0\le x\le 2 \\ 0\le y\le 1 \end{gathered}$$ I denna uppgift. 
Visste inte hur jag annars kunde rita grafen.  Detta är inte $y=-x(x-2)$

Ja just det, jag glömde det. Det är den grafen jag beskrev men med definitionsmängden [0,2]. Yes?

Qetsiyah skrev:

Ja just det, jag glömde det. Det är den grafen jag beskrev men med definitionsmängden [0,2]. Yes?

Nae, den har inga nollställen. :P Så jag vet inte vilken graf du menar. Vänta, jag postar bara en bild på uppgiften istället.

Upp 23.

Det där är ju en helt annan funktion än den du hade i ditt förstainlägg!

Smaragdalena skrev:

Det där är ju en helt annan funktion än den du hade i ditt förstainlägg!

Ja jag vet, visste ej hur jag skulle konstruera den. Förlåt för det. 

Den har dock samma punkter. Och jag angav intervallet. Anyways, hur ska jag göra?? Det är jättesvårt att analysera detta. Sitter fast.  

Asså värdemängden kommer förändras, men vi kan hålla definitionsmängden densamma. Tänk då i termer av reflektioner och squishing och flyttning som jag gjorde.

Det här: https://www.onlinemathlearning.com/function-transformation-hsf-bf3.html

Om du stoppar in  x = -4 så kan du läsa av f(2) och addera 1 för att få funktionsvärdet. Om du stoppar in x = 0 så kan du läsa av f(0) och addera 1 för att få funktionsvärdet. Väljer du något x-värde däremellan så funkar det också.

Vilken är definitionsmängden? Vilken är värdemängden?

Det där ser ut som funktionen $\displaystyle f\left(x\right) = \frac{sin(\pi x - \frac{\pi}{2}) + 1}{2}$ inom intervallet [0, 2]:

Du kan enkelt föreställa dig vad som händer genom att ansätta $\displaystyle \tilde{x} = \frac{-x}{2}$ vilket ger dig ursprungsfunktionen på formen $f(\tilde{x})$. Detta skalar effektivt om x-axeln och spegelvänder funktionen över y-axeln precis som Qetsiyah skrev.

Med omskrivningen ovan så kan du transformera definitionsmängden från $x$ till $\tilde{x}$, det kanske klarnar då.

Qetsiyah skrev:

Asså värdemängden kommer förändras, men vi kan hålla definitionsmängden densamma. Tänk då i termer av reflektioner och squishing och flyttning som jag gjorde.

Det här: https://www.onlinemathlearning.com/function-transformation-hsf-bf3.html

Mycket bra länk, det hjälper verkligen. Jag fattar inte exakt helt varför allt blir som det blir men jag kommer vidare i alla fall. 

Jag har nu koll på att den speglas i y-axel om man multiplicerar x med -1. Men den där stretchen är jag inte med på helt. Man dividerar x med 2 t.ex. Ja då betyder det att vi behöver dubbelt så stort x-värde för att få samma y-värde. Blir definitionsmängden dubbelt så stor då helt enkelt? 

Ett annat exempel:

Jämför $\sin (x)$ med $\sin (2x)$  och $\sin (x/2)$. Kan du säga något om töjning/komprimering av de två sista graferna relativt den vanliga sinus-grafen?

Jag antar att detta är från P.5 i Calculus av Adams. Läs under rubriken Composite functions så får du en inblick i hur man kan se det som en sammansatt funktion $f(g(x))$ där exempelvis $g(x) = \frac{-x}{2}$. Eftersom värdemängden för $g(x)$ är definitionsmängden för $f(x)$ får du att:

$\mathcal{D}\left(f\right)=\mathcal{R}\left(g\right) \to \mathcal{D}\left(f\circ g\right)=[-4,0]$

Detta får du därför att om definitionsmängden för $g(x)$ ska kunna producera värdemängden $[0,2]$ måste du, som Smaragdalena skrev, exempelvis stoppa in $x = -4$ för att få $g(x) = 2$.

Ett annat sätt att se det på är funktionsmaskiner vilket också tas upp i samma avsnitt av Adams.