Byte av integrationsordning, dubbelintegral

Dan N skrev:

Hej! 

Försökte lösa denna uppgiften men stötte på lite problem. Såg att den redan tagits upp här på pluggakuten här: https://www.pluggakuten.se/trad/byt-integrationsordning/

 

Där ges förslag om att dela upp integralen i två delar för att möjliggöra ordningsbytet. När jag gör detta får jag naturligt två olika integraler och jag undrar mest om detta är ok vid ett sådant här ordningsbyte eller om det finns något sätt att få ihop dem. Jag har svårt att se att det går i nuläget men att den inre integralen i den nya dubbelintegralen består av två delar ser ju inte lika "snyggt" ut. 

 

Det här resultatet får jag när jag byter ordningen genom att skriva det som två integraler: 

 

${\int }_0^{1/7}\left({\int }_1^{7}f\right(x,y)dx)dy+{\int }_{1/7}^1\left({\int }_1^{1/y}f\right(x,y)dx)dy = {\int }_0^1\left({\int }_1^{7}f\right(x,y)dx+{\int }_1^{1/y}f(x,y)dx)dy$

Stämmer detta? Och räcker det som lösning eller måste man manipulera uttrycket ytterligare? 

Tack på förhand

Ok

Så om jag inte kan göra den omskrivningen, finns det något annat sätt att förenkla uttrycket som fås eller ska svaret skrivas som jag gör det innan sammanfogningen? 

Dan N skrev:

Ok

Så om jag inte kan göra den omskrivningen, finns det något annat sätt att förenkla uttrycket som fås eller ska svaret skrivas som jag gör det innan sammanfogningen? 

Tror inte det. Du kan alltid införa en binär indikatorfunktion som är 0 utanför intervallet om man vill ha ett kort skrivsätt, men när man väl skall beräkna så måste man dela upp i 2 delar.

Man kan sammanfoga integralerna genom att skriva "min{7, 1/y}" som övre gränsen i inre integralen, d.v.s.

$\displaystyle \int_0^{1/7}( \int_1^7 f\left(x,y\right)\,dx)dy + \int_{1/7}^1( \int_1^{1/y} f\left(x,y\right)\,dx)dy = \int_0^1( \int_1^{\min\{7, 1/y\}} f\left(x,y\right)\,dx)dy$

Jag skulle nog säga att ett sådant skrivsätt gör det något svårare att genomskåda/tolka integrationsområdet.

Vill man undvika minimumfunktionen, så går det också att göra omskrivningen m.h.a. absolutbeloppet då
$\displaystyle  \min\left\{A, B\right\} = \frac{A+B}{2} - \left| \frac{A-B}{2} \right|$.
Man skulle ha alltså
$\displaystyle \frac{7y+1}{2y} - \left| \frac{7y-1}{2y}\right|$
som övre integrationsgräns i inre integralen. En sådan omskrivning skulle nog kännas bara som ett extra krångel för krånglets skull.