Byte av baser

Hej!

Jag har fastnat på det här med basbyten. Jag vet att formeln $C \times {[\overset{⇀}{a}]}_{B} = \overset{⇀}{a}$ kan tillämpas. Om man har en vektor $\overset{⇀}{x}$ och ska hitta koordinaterna med avseende till baserna $\overset{⇀}{v_{1}}, \overset{⇀}{v_{2}}, \overset{⇀}{v_{3}}$ , så har jag lärt mig att lösa ut $[\overset{⇀}{a}]$ genom utvidgad matris. Men jag har också sett fall där man löst ut $[\overset{⇀}{a}]$ som en linjärkombination: $v_{1} c_{1} + v_{2} c_{2} + v_{3} c_{3}$

Vad är rätt och vad är fel?

Om vi har att (B indikerar här den bas som du angivit)

${[\vec{a}]}_{B} = [\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix}]$ , så gäller det per definition att

$\vec{a} = α_{1} {\vec{v}}_{1} + α_{2} {\vec{v}}_{2} + α_{3} {\vec{v}}_{3}$ .

Om vektorrummet är $ℝ^{3}$ så kan vi skriva

${\vec{v}}_{i} = [\begin{matrix} γ_{i}^{1} \\ γ_{i}^{2} \\ γ_{i}^{3} \end{matrix}]$ , för i = 1, 2, 3. Siffrorna på ”övervåningen” är index och inte exponenter.

Vi har därför att

$\vec{a} = \sum_{i} α_{i} [\begin{matrix} γ_{i}^{1} \\ γ_{i}^{2} \\ γ_{i}^{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ_{1}^{1} & γ_{2}^{1} & γ_{3}^{1} \\ γ_{1}^{2} & γ_{2}^{2} & γ_{3}^{2} \\ γ_{1}^{3} & γ_{2}^{3} & γ_{3}^{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix}] = C {[\vec{a}]}_{B}$ .

Där C är en matris vars kolumner utgörs av basvektorerna, dvs

Col_i(C) = ${\vec{v}}_{i}$ , för i = 1, 2, 3.

Hoppas det hela är klarare nu. Således ingen motsättning mellan metoderna, om jag har förstått din fråga rätt.

PATENTERAMERA skrev:
Om vi har att (B indikerar här den bas som du angivit)
${[\vec{a}]}_{B} = [\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix}]$ , så gäller det per definition att
$\vec{a} = α_{1} {\vec{v}}_{1} + α_{2} {\vec{v}}_{2} + α_{3} {\vec{v}}_{3}$ .
Om vektorrummet är $ℝ^{3}$ så kan vi skriva
${\vec{v}}_{i} = [\begin{matrix} γ_{i}^{1} \\ γ_{i}^{2} \\ γ_{i}^{3} \end{matrix}]$ , för i = 1, 2, 3. Siffrorna på ”övervåningen” är index och inte exponenter.
Vi har därför att
$\vec{a} = \sum_{i} α_{i} [\begin{matrix} γ_{i}^{1} \\ γ_{i}^{2} \\ γ_{i}^{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ_{1}^{1} & γ_{2}^{1} & γ_{3}^{1} \\ γ_{1}^{2} & γ_{2}^{2} & γ_{3}^{2} \\ γ_{1}^{3} & γ_{2}^{3} & γ_{3}^{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix}] = C {[\vec{a}]}_{B}$ .
Där C är en matris vars kolumner utgörs av basvektorerna, dvs
Col_i(C) = ${\vec{v}}_{i}$ , för i = 1, 2, 3.
Hoppas det hela är klarare nu. Således ingen motsättning mellan metoderna, om jag har förstått din fråga rätt.

Grymt, tack!

Svara