Byggnadsmekanik: Störst krökning

Hurricaneeee skrev :

Hejsan,

Det är så att jag har haft problem med att lösa på hur jag ska ens börja med detta ?

Frågan är vilken av balkarna har störst krökning?

Det enda jag delvis är säker på är att man ska kolla i formelsamlingen (Byggformler och tabeller, Johannesson) i sidan 36 där man ska använda sig av belastningsfall 1 och 3. Rätta mig om jag har fel här. Skulle uppskatta vid snabba svar!

Det måste bero på tjockleken på balken i fall B.

Fast han har inte lagt något annat än det som finns där!

Jag har även fått ett svar:

Svar: $k=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{M}{E\times I}$

Jag har ingen aning om vart han har fått det och vad det är för formel då jag inte hittar det i min formelsamling

Det är ett elementärt samband att krökningen är lika med momentet genom böjstyvheten och det borde finnas med i din kurslitteratur. Ju större moment desto större krökning eftersom böjstyvheten är densamma i balkarna. Vilken balk har det största maximala momentet, den med punktlasten eller den med utbredda lasten?

Jaha, visar den högra bilden alltså en utbredd last på en lika tunn balk? Jag trodde att den visade en punktlast på en tjockare balk.

Nu var det ju en väldig massa år sedan jag läste hållfasthetslära, men jag vill minnas att utbredda laster ritades på annat sätt än så.

Yngve skrev :

Jaha, visar den högra bilden alltså en utbredd last på en lika tunn balk? Jag trodde att den visade en punktlast på en tjockare balk.

Nu var det ju en väldig massa år sedan jag läste hållfasthetslära, men jag vill minnas att utbredda laster ritades på annat sätt än så.

Ja jag håller med om att det ser ut som en tjock balk:) men lastintesiteten brukar benämnas (lilla) q, så jag antar att det handlar om en utbredd last här. Om jag inte minns fel antyder också ringen ovanför pilen att det handlar om en utbredd last.

Jag hade nog förväntat mig att en utbredd last skulle illustreras på följande sätt, men det var som sagt en del år sedan.

Ja exakt, det är en utbredd last. Det där är mer simpelt att göra för min del. Jag förstår ju inte vart han får detta ifrån eller hur han tänkte här. Skulle ni kunna förklara på ett simpelt sätt hur han tänker här ?

Ber även om ursäkt för ett sent svar från min del!

Han använder ett samband som säger att krökningen beror av momentet (M) genom böjstyvheten (EI). Eftersom böjstyvheten är lika i de båda balkarna kommer krökningen att bero på vilken av balkarna som utsätts för det största momentet. När du vet vilken balk som har det största maximala momentet vet du alltså vilken som har störst krökning. Är det att bestämma momenten i balkarna du behöver hjälp med?

Nej, utan det har jag tagit fram tidigare genom att kolla på formelsamlingen och det är detta jag fick fram!

Störst moment:
A) $M_A=\frac{q\times L^2}{8}$

B) $M_B=\frac{q\times L^2}{4}$ 

Här fick jag reda på att B) har större moment.

Störst tvärkraft:

A) $R_A=\frac{q\times L}{2}$

B) $R_B=\frac{Q}{2}=\frac{q\times L}{2}$

Här får jag reda på att båda har lika stora tvärkraft!

Därefter vill han ha största krökning (absolutvärde)

Momenten ska väl vara tvärtom va?

$$\begin{gathered} M_A=\frac{q{L}^2}{4} \\ {M}_B=\frac{q{L}^2}{8} \end{gathered}$$

I så fall blir väl största krökningen:

$\kappa =\frac{q{L}^2}{4EI}$

Stämmer inte det med facit?

Momentet är så som du sa men krökningen är så som jag skrev! Stod inget annat

Ok, då tolkar jag det som att det står ett förslag hur man kan lösa uppgiften, för om frågan är vilken balk som har störst krökning så är det ju inte svar på frågan?

Det han skriver är en förenkling som grundar sig på att det handlar om mycket små deformationer. Är du bekant med elastiska linjens ekvation? Den som beskriver kurvan hos den deformerade balken i xy-planet:

E*I*y =... känner du igen den?

Då kanske du känner igen detta uttryck också:

E*I*y´´ = -M 

Krökningen av en linje kan matematiskt tecknas:

$\kappa =\frac{y´´}{(1+(y´{)}^2{)}^{3/2}}$

Vid små deformationer är y´<<1 vilket gör att uttrycket kan förenklas:

$\kappa \approx y´´=-\frac{M}{EI}$