Bygga ett torn av klossar

Tänk dig att du har tio positioner i tornet. Först bestämmer du var de tre vita ska vara. På hur många sätt kan du göra det? Jo på $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)$ sätt, eftersom du ska välja ut tre positioner för de vita klossarna av de tio möjliga. Sedan har du sju positioner kvar, och då skall du placera in de två gula. Du har $\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)$ sätt. Sedan blir det $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$ för de röda. De sista har unik färg, och de placerar du på 3! sätt. Multiplicera ihop allt för svar!

Om man skriver ut det som SvanteR räknade fram:

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)*3!=\frac{10*9*8}{3*2*1}*\frac{7*6}{2*1}*\frac{5*4}{2*1}*3*2*1= \\ \frac{10*9*8*7*6*5*4*3*2*1}{3*2*1*2*1*2*1}=\frac{10!}{3!*2!*2!} \end{gathered}$$

Detta kan man tolka på följande vis:

Det finns 10! kombinationer om man låtsas om att alla kuberna är unika. Alla är dock inte unika. För att råda bot på detta får vi ta alla de kombinationer som betraktas som olika om vi räknar med 10! som vårt svar men som inte är det och göra en uträkning som gör att de betraktas som en kombination.

Betraktar vi en given kombination så kan vi skapa en annan kombination genom att endast flytta de vita kuberna. Vi får då en ny kombination som vi inte borde räkna med. Dessa tre kuberna kan placeras på 3! vis, så de vita kuberna gör upphov till att vi räknar med 3! gånger så många kombinationer som det är i verkligheten. På samma vis kan vi byta plats på de två gula respektive de två röda kuberna, som på egen hand gör att vi får 2! respektive 2! gånger så många kombinationer som det är i verkligheten. För att råda bot på detta får vi dividera på detta, så vi får

$\frac{10!}{3!*2!*2!}$

vilket även var det SvanteR kom fram till. Jag vet inte om det här synsättet hjälper, jag ville bara illustrera att det finns många vägar till samma mål.