Buuuuououuhhhh, integral!

Jag har börjat läsa kapitel om partialintegrering och variabelbyte. Roligt men det går inte smidigt.

Kan nån förklara på er vanligt super pedagogisk sätt vad ska man göra för att integrera detta den lättaste sätt möjligt?

Integrera: $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}$   

Första försök. Vi integrerar detta:

=

$\int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx$

Den rosa del ser misstänksamt ut som en arctan uttryck. Vi exploaterar detta svaghet.

$\int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx = \left[\begin{array}{c}x=\tan \left(t\right)\\ t=arc\tan \left(x\right)\\ d\left(x\right) är nog \frac{1}{{\cos }^{2}t}dt\end{array}\right]$ och $1+x^2\iff 1+{\tan }^{2}t=1+\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}=\frac{{\cos }^{2}t}{{\cos }^{2}t}+\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$

$$\begin{gathered} \int \frac{\frac{dt}{{\cos }^{2}t}}{x^2\sqrt{\frac{1}{{\cos }^{2}t}}}=\int \frac{1}{x^2}\frac{dt}{{\cos }^{2}t}\frac{\cos \left(t\right)}{1}=\int \frac{1}{x^2}\frac{dt}{\cos t}=\int \frac{1}{{\tan }^{2}t}\frac{dt}{\cos t} \\ =\int \frac{1}{{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}t}{\cos \cancel{{}^2}t}}}\frac{dt}{\cancel{\cos t}}=\int \frac{\cos \left(t\right)dt}{{\sin }^{2}t} \end{gathered}$$

Därifrån, partial integrering??

$\int f\left(x\right)g\left(x\right)=F\left(x\right)g\left(x\right)-\int F\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)$

$$\begin{gathered} \int \frac{\cos \left(t\right)dt}{{\sin }^{2}t}=\int \cos \left(t\right)(\sin t{)}^{-2}dt \\ =\sin (t\left)\right(\sin t{)}^{-2} - \int \sin \left(t\right)·-2{\left(\sin t\right)}^{-3}\cos \left(t\right) dt \\ =\sin (t{)}^{-1} + \int \frac{\cos \left(t\right)}{2{\sin }^2\left(t\right)} dt \\ =\sin (t{)}^{-1} + \frac{1}{2}\int \frac{cos\left(t\right)}{si{n}^2\left(t\right)} dt \end{gathered}$$

Och vilken tur, det liknar nämligen vad vi började med, $I=\int \frac{cos\left(t\right)}{si{n}^2\left(t\right)}$

$$\begin{gathered} I=\sin (t{)}^{-1} + \frac{1}{2}I \\ \frac{1}{2}I=\sin (t{)}^{-1} \\ I=2\sin (t{)}^{-1}=\frac{2}{\sin \left(t\right)} \end{gathered}$$

Vi ersätter t med vad som ska:

$I=2\sin (arc\tan x{)}^{-1}$=$2{\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)}^{-1}=\frac{2\sqrt{1+x^2}}{x}$ .... som är fel.

Jag vet, från tjuvkickande i faciten, att det var rätt tills jag började partialintegrera. Slarvet gömmer sig där nånståns.... Kan ni hjälpa mig att fixa partialintegrering?