Burnside

Hej

jag försöker förstå mig på Burnsides formel och skulle behöva lite förklaring, jag har följande uppgift:

På hur många sätt kan man färglägga ett rätblock som har sidorna 1cm,2cm,3cm samt färgerna röd,blå,gul

Man ska använda sig av Burnsides formel och man ska väl använda sig av rotationsgruppen R och låta den verka på mängden X av alla färgläggningar och rätblockets sidor.

Som jag förstår det har vi då R= $\{ε, σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}\}$ men verkar det som att man ska använda sig av att $X_{σ x}, X_{σ y}, X_{σ z}$ innehåller $3^{4} = 81$ element samt att $|X_{ε}| = 3^{6} = 729$ och sedan sätta $\frac{1}{4} (729 + 3 \times 81) = 243$

Jag är med på mängden R men varför ska vi ha $3^{4} = 81$ samt $3^{6} = 729$ var kommer dom från? att vi får basen 3 är väl för att vi har tre rotationer dvs rotationer runt x,y,z -axlarna, men var kommer exponenterna ifrån? och varför delar man med fyra i den slutliga operationen?

Du har alltså att $\sigma_x$ är en rotation med $180\textdegree$ och samma för de andra.

Om du kollar på rätblocket så ser du att en sådan operation fixerar $3^4$ stycken färgläggningar. Toppen och botten ska ha samma färg, framsidan och baksidan ska ha samma färg och sedan kan vänster och höger sida ha varsin färg. Det är alltså 4 stycken olika färger som ska väljas och alla kan väljas på 3 sätt. Därför får man att det finns $3^4 = 81$ stycken element i $X_{\sigma_x}$ . Samma resonemang för de övriga.

Sedan så fixerar $\epsilon$ alla färgläggningar, vilket är $3^6$ olika färgläggningar eftersom alla sex sidor kan färgas på 3 sätt vardera.

Att man delar med 4 kommer från att ordningen på gruppen är 4.

okej men var kommer 3an ifrån som vi multiplicerar med inom parentesen?

Du får det från att alla tre $X_{\sigma_x}, X_{\sigma_y}, X_{\sigma_z}$ innehåller 81 element.

Svara

Visa senaste svar