Bra sätt att motivera vilken typ av funktion som har egenskapen f(x+y)=f(x)f(y)

Ingen vila för dig naytte, inte ens under Kalle Anka!😄

Om f förutsättes deriverbar kan vi leka litet så här på min kväll. Din regel ger f(x+h)=f(x)•f(h) och f(x+0)=f(x)•f(0) som ger f(0)=1 förutsatt att f(x) är skilt från 0. Försök att teckna derivatan av f m h a definitionen.

Man kommer rätt långt med antagandet om kontinuitet.

För rationella tal börjar vi med att tönka såhär:

Från definitionen följer att om n och m är heltal så gäller att

f(0) = 1, och

f(nx) = f(x)^n

och från det

f(x/m) = f(x)^1/m

och således

f(n/m) = f(1)^n/m

Om funktionen anses kontinuerlig så ska det gälla att

f(x) = f(1)^x

eftersom vi kan ta x som gränsvärdet av en sekvens av rationella tal.

f(1) är godtyckligt  så kalla det a

Svar: f(x) = a^x

Hoppar över en del så finns kanske lite problem men skissen är att konuitet räcker. Finns nog en ickekontinjerlig funktion som ser annorlunda ut.

Med hjälp av egenskapen att $f(0)=1$ kan man dra slutsaten att $f\left(x\right)=\frac{1}{f(-x)}$. Så om man deriverar detta med avseende på $x$ får man: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f=\frac{f'(-x)}{f(-x)^2}$

Men det blir skumt eftersom jag nu får med derivatan "i derivatan". Om man använder derivatans definition får man istället:

$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}$

$\displaystyle=f(x)\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}$

$\displaystyle \implies f'(x)=f(x)\cdot f'(0)$

Var det något i den stilen du menade, Tomten?

Ja, nu återstår att visa att också f’(0)=1 Jag tror den finns i litteraturen, men just nu står det still. Har väl stått för länge vid lagårdsväggen och grubblat i månens sken.

Men $f'(0)$ måste väl inte nödvändigtvis vara 1? Har man en funktion som t.ex. $e^{3x}$ skulle väl $f'(0)=3$ ?

Nej, precis det behöver den ju inte vara för att uppfylla den ursprungliga fknalekv.

...vilket gör mig lite förvirrad kring resultaten vi har kommit fram till här angående derivatan. Eller alltså jag förstår inte riktigt hur den hjälper oss vidare. Det verkar fortfarande som funktionen skulle kunna vara nästan vilken funktion som helst.

I vårt fall har vi begränsat de möjliga lösningarna till fknalekv. till deriverbara fkner och då visat att de enda är exp- fknerna. Det är en kraftig inskränkning, men å andra sidan de mest intressanta. Om vi betraktar problemet i full generalitet finns det nog inte så mycket jag kan säga.

I vårt fall har vi begränsat de möjliga lösningarna till fknalekv. till deriverbara fkner och då visat att de enda är exp- fknerna.

Det är det jag inte förstår. Hur har vi visat att funktionen måste vara en exponentialfunktion? Eller annorlunda uttryckt: hur kan vi visa att det bara är exponentialfunktioner som får en sådan derivata?

Ekv f’(x)=k•f(x) där k =f’(0) kan deriveras hur många gånger som helst. f måste därför ha en McLaurinutveckling. En sådan är inget annat än en potensserie. Man kan visa att

1. Denna serie konvergerar likformigt och absolut på alla kompakta delmängder

2. Serien utgör en McLaurin för exponentialfknen. (Se V Rudin: Real and Complex Analysis, Prologue).

Slutsatsen blir att exp fknen är unik som deriverbar lösning till den givna fknalekv.
Hur det är med icke-deriverbara fkner har jag inte ngn kläm på. Testa gärna hur det blir om f definieras på en Boolsk algebra istället för R.