Bra metod för att se om det finns gränsvärde?

Antag att man har en funktion $y (x) = \frac{8}{x - 2}$ , och att man vill veta ifall $\lim_{x \to 2} y (x)$ existerar.

Man börjar med att titta på $\lim_{x \to 2^{+}} y (x)$ .

$\lim_{x \to 2^{+}} y (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x - 2} = \frac{8}{2^{+} - 2} = \frac{8}{0^{+}} = \infty$

Sedan tittar man på $\lim_{x \to 2^{-}} y (x)$

$\lim_{x \to 2^{-}} y (x) = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{8}{x - 2} = \frac{8}{2^{-} - 2} = \frac{8}{0^{-}} = - \infty$

Eftersom höger och vänster gränsvärde inte stämmer överens existerar inte gränsvärdet.

Jag undrar om min metod är korrekt och om det möjligtvis finns något snabbare sätt att göra det på?

Snyggt!

Man får stå ut med att man får beräkna höger och vänster gränsvärdet.

I just detta fallet kan vi konstatera följande:

$1/x$ saknar ett gränsvärde då $x \rightarrow 0$ , om vi subtraherar en konstant eller adderar med en kostnat så skiftar vi bara kurvan, men allt vi har gjort är att flytta vilket x-värde som kurvan är diskontinuerlig i, vi har inte ändrat utseendet.

se här: https://www.desmos.com/calculator/dszvzakfbp

Om man skulle försöka ta högergränsvärdet $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{2}}$ och vi på samma sätt försökte stoppa in $0^{+}$ , hur skulle

det bli då? Är $0^{+}$ någonting vi kan räkna med? Man hade ju fått $\frac{1}{{(0^{+})}^{2}}$ , men hur ska man tolka ${(0^{+})}^{2}$ ?

Tillägg: 26 okt 2022 14:51

${(0^{+})}^{2}$ borde väl bara bli $0^{2}$ , eller?

Man tar ju någonting oändligt nära 0 och kvadrerar det. Då borde man ju logiskt sett ha någonting som fortfarande är oändligt nära noll. Och om man skulle försöka ta ${(0^{-})}^{2}$ borde det väl bara bli $0^{+}$ ?

För 1/x så existerar inget gränsvärde öht eftersom vi får -inf och inf beroende på vilket håll vi närmar oss 0.

I ditt fall med 1/x^2 så får vi att det går mot oändligheten. I ditt fall blir $0^-$ samma sak som $0^+$ eftersom kvadraten eliminerar alla negativa tal. $-0.00001$ blir ju bara $( -0.00001)^2$ osv

Svara

Visa senaste svar