Bra A-uppgifter på andraderivata

Derivatan f’(x) = x (x-5)¹⁰⁰ (x+4)⁹⁹ (3–x)⁹⁸ (2–x)⁹⁷ 

För vilka x har grafen till y = f(x) lokalt max, lokalt min, terrasspunkt?

Har f(x) något största (minsta) värde?

$f$ kommer ha sina extrempunkter där derivatan är lika med noll. Jag börjar med att ställa upp och lösa den ekvationen:

$$\begin{gathered} x{(x-5)}^{100}·{(x+4)}^{99}·{(3-x)}^{98}·{(2-x)}^{97}=0 \\ L=\{x= 5, -4, 3, 2\} \end{gathered}$$

Lösningsmängden ovan anger de x-koordinater där funktionen har en extrempunkt. Det blir krångligt att ta fram andraderivatan, så jag får köra på något annat resonemang.

För alla $x>2$ kommer derivatan endast anta negativa värden. Det medför att $f$ blir avtagande för alla $x>2$. I intervallet $0<x<2$ kommer $f$ endast anta positiva värden. Det medför att $f$ blir växande i det intervallet. Detta medför att $x=2$ är en maximipunkt.

För alla $x<-4$ kommer derivatan endast anta positiva värden. Det innebär att $f$ är växande för alla $x<-4$. För alla $-4<x<0$ kommer derivatan anta negativa värden. Det innebär att $f$ blir avtagande i det intervallet. $x=-4$ är alltså en maximipunkt. 

Detta medför att $x=0$ är en minimipunkt.

Eftersom $f$ är avtagande för alla $x>2$ måste $x=5$ och $x=3$ vara terasspunkter.

Stämmer detta resonemang?

Enklare är att sätta upp ett teckenschema. (eller det kanske du gjorde?)

f' är negativt för stora x. 
för x = 5 byts inte tecknet (jämn exponent)

för x =3 byts inte tecknet

för x = 2 byts tecknet

för x = 0 byts tecknet

för x = –4 byts tecknet

nu ser man i vilka intervall f växer resp avtar. Det ger svaret 

Jag ställde inte upp ett teckenschema, nej. Men i praktiken var mitt resonamang samma som om jag hade ett teckenschema. 

Men skulle du säga att resonemanget stämmer? Min hjärna är väldigt dimmig just nu så jag har svårt att koncentrera mig, så att tänka igen blir väldigt svårt. 

Uttrycket kan bara byta tecken när en faktor är noll. 
(x–a)ⁿ byter tecken för x = a om n udda, byter inte tecken om n jämnt. 
Ingen annan faktors tecken påverkas. 

Jag uppfattar metoden som vattentät. 

Jag tycker det är en bra uppgift för att den lyfter fram värdet av att faktorisera. 
När räknarna kom så började läromedlen sprida metoden att stoppa in värden mellan nollställena för att kolla tecken. Det ledde till ganska tomt manipulerande. Här blir det arbetsamt för räknaren att bestämma funktionsvärden eller skissa graf. 
Alltid roligt när matematik trumfar knapptryckande tycker jag. 

naytte skrev:

 

Det blir krångligt att ta fram andraderivatan, 

Eller hur. Dessutom är andraderivatan med stor säkerhet noll i de flesta aktuella punkterna. Det krävs ganska många deriveringar…

Det är ytterligare en god sak med denna uppgift – det är inte bara att gå till andraderivatan. Om man markerar tecken för f’ och ritar pilar för f, så kan en gymnasist hänga med på resonemangen. Men hur många kan förklara varför andraderivatatestet fungerar – för majoriteten misstänker jag att det bara är hokuspokus.

Mogens skrev:

naytte skrev:

 

Det blir krångligt att ta fram andraderivatan, 

Men hur många kan förklara varför andraderivatatestet fungerar – för majoriteten misstänker jag att det bara är hokuspokus.

Ja, verkligen. Det tog mig ungefär en vecka av konstant funderande innan poletten äntligen trillade ned på riktigt... Det är lite krångligt, sånt här!

naytte skrev:

Mogens skrev:

Visa föregående citat

naytte skrev:

 

Det blir krångligt att ta fram andraderivatan, 

Men hur många kan förklara varför andraderivatatestet fungerar – för majoriteten misstänker jag att det bara är hokuspokus.

Ja, verkligen. Det tog mig ungefär en vecka av konstant funderande innan poletten äntligen trillade ned på riktigt... Det är lite krångligt, sånt här!

Jag undrar hur din polett såg ut. 

så här tänker jag
föruts:

x                       a

f'                       0

f''                      +
det ger att i en omg till a har vi

f'                     väx

f'                 –   0     +

f             avt           väx

alltså f har min för x = a

Mitt resonemang ser kanske lite mindre matematiskt ut:

Andraderivatan utallar sig om huruvida förstaderivatan är avtagande eller växande. Om förstaderivatan är växande kommer $f$ vara konvex. Om förstaderivatan däremot är avtagande ($f\text{'}\text{'}<0$) kommer $f$ vara konkav. Om förstaderivatans lutning är noll innebär det en förändring i konvexitet (om $f\text{'}\text{'}$ kan anta både positiva och negativa värden).

Tillägg: 10 feb 2023 20:39

Nu ser det ganska ordnat och välsammanfattat ut men så här klart var det inte i mitt huvud när vi först gick igenom det här... Man förklarade andraderivatan som "lutningen till lutningen", vilket för mig var helt obegripligt.

Lutning till lutning, ok.

Kanske bättre med förändring av förändring. 

En förändring kan vara konstant, du flyttar dig med samma hastighet hela tiden. Om du bromsar eller gasar, då förändrar du förändringen.