Bottenyta

Du har en kvadratisk botten med arean x^2 och 4 stycken rektangulära sidoytor med arean h*x vardera. Eftersom du vet att burken skall ha volymen 900 cm^3 kan du beräkna höjden h som en funktion av x. Kommer du vidare härifrån?

$$\begin{gathered} Areans bottenyta : x^2 ,vi antar att 1c{m}^2 av botteny\tan kostar A kr. \\ Areans botteny\tan s kosnad blir:A{x}^2 \\ Vi har 4 sidoytor som dess areor blir:4xy där y är höjden till burken. \\ Kosnaden till 4 sidoytorna blir: 4xy\times \left(2A\right) \\ K=Totalt blir kosnaden till areans burk = A{x}^2+8Axy=A(x^2+8xy) \\ Vi redan vet att Volymen=x^{2}y=900 \Rightarrow y=\frac{900}{x^2} ersätt y i K funktionen \\ K=A(x^2+8x\frac{900}{x^2})=A(x^2+\frac{7200}{x}) \\ Nu deriverar vi av K för att hitta extermpunkter. \\ K\text{'}=A(2x-\frac{7200}{x^2})=0 \Rightarrow 2x-\frac{7200}{x^2}=0 \Rightarrow 2x^3=7200 \Rightarrow x^3=3600 \\ x=15,32 cm, innan x=15,32 är K\text{'} negativ(K blir avtagande) och efter det är K\text{'} positiv (K blir växande) \\ Så att K har minimipunkt i x=15,32 \\ Och av volymfunktinen dras ut: y=\frac{900}{15,{32}^2}=3,83 cm \\ Dimensionering av burkan: längden av den kovadratiska botty\tan är x=15,32 cm \\ höjden av burkan: y=3,83 cm \end{gathered}$$