Borde vara en enkel differential ekvation

Tjenare sitter här och tittar på lite flödes mekanik.
Mitt i läsandet kom jag över en diffekvation som jag inte får rätt på.

Det är $\frac{d x}{d t} = V_{0} \frac{x}{L} \frac{1}{1 + a t}$ och lösningen där som förvirrar mig. Så här räknar jag:
$\frac{d x}{d t} = V_{0} \frac{x}{L} \frac{1}{1 + a t} \frac{d x}{d t} - V_{0} \frac{x}{L} \frac{1}{1 + a t} = 0 i n t e g r e r a n d e f a k t o r : g (t) = - \frac{V_{0}}{L} \frac{1}{1 + a t} G (t) = - \frac{V_{0}}{L a} \ln (1 + a t) G (t) = \ln (\frac{1}{{(1 + a t)}^{\frac{V_{0}}{L a}}})$

sen så multiplicerar jag båda leden med e^G(t) och integrerar med avseende på t

$e^{G (t)} (\frac{d x}{d t} - V_{0} \frac{x}{L} \frac{1}{1 + a t}) = 0 \cdot e^{G (t)} {(1 + a t)}^{- \frac{V_{0}}{L a}} (\frac{d x}{d t} - V_{0} \frac{x}{L} \frac{1}{1 + a t}) = 0 \frac{d x}{d t} {(1 + a t)}^{- \frac{V_{0}}{L a}} - \frac{V_{0}}{L} {(1 + a t)}^{- (\frac{V_{0}}{L a} + 1)} = 0 (x {(1 + a t)}^{- \frac{V_{0}}{L a}}) d t = 0 x {(1 + a t)}^{- \frac{V_{0}}{L a}} = C x = C {(1 + a t)}^{\frac{V_{0}}{a L}}$

Här på slutet märker jag att exponenten jag fått fram V₀/aL är inverterad jämfört med bokens. Har jag gjort fel någonstans?

Tack och trevlig helg!

Derivera din lösning och facits lösning map t och se vilken lösning som ger tillbaka ursprungsekvationen $\frac{d x}{d x} = V_{0} \frac{x}{L} \cdot \frac{1}{1 + a t}$ .

Ekvationen är separabel

$\frac{d x}{d t} = V_{0} \frac{x}{L} \frac{1}{1 + a t} \Leftrightarrow \frac{d x}{x} = \frac{V_{0}}{L} \frac{d t}{1 + a t} \Rightarrow \ln x = \frac{V_{0}}{L a} \ln (1 + a t) + C \Rightarrow x = e^{\frac{V_{0}}{L a} \ln (1 + a t) + C} = C_{1} {(1 + a t)}^{\frac{V_{0}}{L a}}$

Samma som du har kommit fram till. Verkar vara fel i facit.

Svara