Boll som kastas mot ett tåg

Tänk dig att du kastar en studsboll mot ett tåg med hastigheten 20m/s rakt framifrån mot tåget. Tåget har hastigheten 180km/h mot dig. Vilken hastighet får bollen om vi antar att studsen är fullständigt elastisk?

På facit står det 120 m/s vilket jag inte förstår hur man har fått fram.

Jag tänkte först omvandla tågets hastighet till SI-enhet 180/3,6=50m/s (positiv riktning) och därmed blir bollens riktning negativ (-20m/s). Eftersom den är elastisk bör både rörelsemängden och den kinetiska energin vara detsamma, tågets hastighet är 50 m/s både innan och efter kollisionen för bollen påverkar inte antar jag. Jag försökte att ställa upp ett ekvationssystem men det blir för många okända variabler, det finns ju inga massor och hastigheten för bollen (efter) är också okänd?

Behöver du verkligen känna till bollens massa?

Edit: För en fullständigt elastisk stöt är den relativa hastigheten mellan objekten efter kollision lika med minus den relativa hastigheten för kollision. Går det att utnyttja?

Tegelhus skrev:
Behöver du verkligen känna till bollens massa?
Edit: För en fullständigt elastisk stöt är den relativa hastigheten mellan objekten efter kollision lika med minus den relativa hastigheten för kollision. Går det att utnyttja?

Menar du att

v₍₀₎_Tåg-v₍₀₎_{Boll =}v_(0)Tåg -v_Boll?

Då bör det bli: 50-(-20)=50-v_boll

70=50-v_bolldärmed blir v_boll=-20m/s

Man kan se det från tågets synvinkel, så blir det ganska enkelt, utan ekvationer.

Leonhart skrev:
Tegelhus skrev:
Behöver du verkligen känna till bollens massa?
Edit: För en fullständigt elastisk stöt är den relativa hastigheten mellan objekten efter kollision lika med minus den relativa hastigheten för kollision. Går det att utnyttja?
Menar du att
v₍₀₎_Tåg-v₍₀₎_{Boll =}v_(0)Tåg -v_Boll?
Då bör det bli: 50-(-20)=50-v_boll
70=50-v_bolldärmed blir v_boll=-20m/s

Blir väl snarare

v(0)Tåg-v(0)Boll = -(v(0)Tåg -vBoll)

i och med att de två objekten kommer åka bort från varandra efter studsen

Tegelhus skrev:
Blir väl snarare
v(0)Tåg-v(0)Boll = -(v(0)Tåg -vBoll)
i och med att de två objekten kommer åka bort från varandra efter studsen

Har tåget och bollen olika riktning efter kollisionen?

Ebola skrev:
Tegelhus skrev:
Blir väl snarare
v(0)Tåg-v(0)Boll = -(v(0)Tåg -vBoll)
i och med att de två objekten kommer åka bort från varandra efter studsen
Har tåget och bollen olika riktning efter kollisionen?

Deras relativa riktning blirt tvärt om efter kollisionen jmf. med innan (relativa hastigheten ändrar riktning). Först åker de mot varandra, och sen från varandra.

Tegelhus skrev:
Ebola skrev:
Tegelhus skrev:
Blir väl snarare
v(0)Tåg-v(0)Boll = -(v(0)Tåg -vBoll)
i och med att de två objekten kommer åka bort från varandra efter studsen
Har tåget och bollen olika riktning efter kollisionen?
Deras relativa riktning blirt tvärt om efter kollisionen jmf. med innan (relativa hastigheten ändrar riktning). Först åker de mot varandra, och sen från varandra.

Tack för hjälpen!

Tegelhus skrev:
Deras relativa riktning blirt tvärt om efter kollisionen jmf. med innan (relativa hastigheten ändrar riktning). Först åker de mot varandra, och sen från varandra.

Varför byter den relativa hastigheten riktning? Kan du bevisa att det sker matematiskt?

Ebola skrev:
Tegelhus skrev:
Deras relativa riktning blirt tvärt om efter kollisionen jmf. med innan (relativa hastigheten ändrar riktning). Först åker de mot varandra, och sen från varandra.
Varför byter den relativa hastigheten riktning? Kan du bevisa att det sker matematiskt?

Vet tyvärr inte hur man ska visa det matematiskt, men hoppas att det går att förstå rent intuitivt i alla fall.

Relativa hastigheten är ju hur de två objektens hastighet förhåller sig mot varandra. Innan kollision rör sig två objekt mot varandra, och efter att ha studsat rör de sig från varandra.

I och med att det är fullständigt elastiskt kommer objekten per definition att röra sig från varandra lika snabbt precis efter stöten, som de närmade sig varandra precis före. Alltså är den relativa hastigheten lika stor, men den har ändrat riktning.

Tänk dig en boll som faller mot ett golv med en konstant hastighet på 5 m/s, där stöten är fullständigt elastisk. I och med att golvet är stilla är den relativa hastigheten 5 m/s rakt nedåt. Direkt efter att ha studsat rör sig bollen 5 m/s uppåt, alltså med samma hastighet men åker nu bort från golvet.

Tegelhus skrev:
I och med att det är fullständigt elastiskt kommer objekten per definition att röra sig från varandra lika snabbt precis efter stöten, som de närmade sig varandra precis före. Alltså är den relativa hastigheten lika stor, men den har ändrat riktning.
Tänk dig en boll som faller mot ett golv med en konstant hastighet på 5 m/s, där stöten är fullständigt elastisk. I och med att golvet är stilla är den relativa hastigheten 5 m/s rakt nedåt. Direkt efter att ha studsat rör sig bollen 5 m/s uppåt, alltså med samma hastighet men åker nu bort från golvet.

Det är intressant hur något som aldrig kan förekomma i den makroskopiska verkligheten ändå är så pass intuitivt. Matematiskt fås det genom:

1. Rörelsemängdens bevarande

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} \Leftrightarrow m_{1} (v_{1} - u_{1}) = m_{2} (u_{2} - v_{2})$

2. Kinetiska energins bevarande

$\frac{1}{2} m_{1} {(v_{1})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {(v_{2})}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} {(u_{1})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {(u_{2})}^{2} \Leftrightarrow m_{1} (v_{1}^{2} - u_{1}^{2}) = m_{2} (u_{2}^{2} - v_{2}^{2})$

Dividera relation 2 med relation 1:

$\frac{m_{1} (v_{1}^{2} - u_{1}^{2})}{m_{1} (v_{1} - u_{1})} = \frac{m_{2} (u_{2}^{2} - v_{2}^{2})}{m_{2} (u_{2} - v_{2})} \Leftrightarrow \frac{(v_{1} + u_{1}) (v_{1} - u_{1})}{(v_{1} - u_{1})} = \frac{(u_{2} + v_{2}) (u_{2} - v_{2})}{(u_{2} - v_{2})}$

Slutligen får vi uttrycket som vi söker:

$v_{1} + u_{1} = u_{2} + v_{2} \Leftrightarrow v_{1} - v_{2} = - (u_{1} - u_{2})$

Svara

Visa senaste svar