Blockmatriser och egenvektorer

Du kan verifiera att det är en egenvektor genom en direkt beräkning.

$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}A\xi + Bd\\ Cd\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-(\lambda I - A)\xi + \lambda \xi + Bd\\ \lambda d\end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$

Freewheeling skrev:

Du kan verifiera att det är en egenvektor genom en direkt beräkning.

$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}A\xi + Bd\\ Cd\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-(\lambda I - A)\xi + \lambda \xi + Bd\\ \lambda d\end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$

Tack, ser bra ut men hur härleder man sambandet? 

Varje ”rad” i matrisekvationen måste vara uppfylld separat.

Således har vi att

Cd = $\lambda$d, vilket ger att $\lambda$ måste vara ett egenvärde till C och d en tillhörande egenvektor.

Och vidare att

A$\xi$ + Bd = $\lambda \xi$ $\iff$ ($\lambda$I - A)$\xi$ = Bd, vilket är det sökta resultatet.

PATENTERAMERA skrev:

Varje ”rad” i matrisekvationen måste vara uppfylld separat.

Således har vi att

Cd = $\lambda$d, vilket ger att $\lambda$ måste vara ett egenvärde till C och d en tillhörande egenvektor.

Och vidare att

A$\xi$ + Bd = $\lambda \xi$ $\iff$ ($\lambda$I - A)$\xi$ = Bd, vilket är det sökta resultatet.

Aaaah, då förstår jag, tack :)

PATENTERAMERA skrev:

Varje ”rad” i matrisekvationen måste vara uppfylld separat.

Således har vi att

Cd = $\lambda$d, vilket ger att $\lambda$ måste vara ett egenvärde till C och d en tillhörande egenvektor.

Och vidare att

A$\xi$ + Bd = $\lambda \xi$ $\iff$ ($\lambda$I - A)$\xi$ = Bd, vilket är det sökta resultatet.

Fast vänta lite, vi vet inte från början att egenvektor ser ut på formen $\left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$, det enda vi vet är väl att M$\xi$ = $\lambda \xi$. Kan vi komma fram till att den skulle vara på den formen?

Nej, men vi vet att vi kan alltid ansätta den som $\left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$, där $\xi$ och d är obekanta vektorer.

Egenvärdesproblemet blir då

$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$ = $\lambda \left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$ $\iff$ $\left[\begin{array}{c}A\xi +Bd\\ Cd\end{array}\right]$ = $\lambda \left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$, vilket vi kan skriva som två separata ekvationer enligt vad som sagts tidigare.

Det sant, hade nog inte tänkt ut utan att ha sett det här men nu vet jag att man kan göra så och se vad det leder till. Tack!

PATENTERAMERA skrev:

Nej, men vi vet att vi kan alltid ansätta den som $\left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$, där $\xi$ och d är obekanta vektorer.

Egenvärdesproblemet blir då

$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$ = $\lambda \left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$ $\iff$ $\left[\begin{array}{c}A\xi +Bd\\ Cd\end{array}\right]$ = $\lambda \left[\begin{array}{c}\xi \\ d\end{array}\right]$, vilket vi kan skriva som två separata ekvationer enligt vad som sagts tidigare.