Blir det rätt trots division med noll? - Infinitesimaler

Vet inte om jag kanske bara inte 100% fattar dina definitioner men om f är en reel värd funktion så $f:(x_1,x_2,...)\rightarrow f(x_1,x_2,...)\in \mathbb{R}$ då kommer väll $f(x+\epsilon)-f(x)=(f(x+\epsilon)-f(x),0,0,...)\in \mathbb{R}(\epsilon)$ så $Re(\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{(0,1,0,...)})=Re(f(x+\epsilon)-f(x),0,0,...)=0$ eller tänker jag helt knas?

Jag skrev reellvärd utan att tänka. $f$ är naturligtvis inte reellvärd, eftersom man kan stoppa in icke-reella tal. Ursäkta att jag uttryckte mig felaktigt. Jag ska uppdatera inlägget!

Tillägg: 17 mar 2024 15:17

Man kanske måste ha som krav att $Re(\frac{x}{y})=\frac{Re(x)}{Re(y)}$ endast om Re(y) är nollskilt.

naytte skrev:

Jag skrev reellvärd utan att tänka. $f$ är naturligtvis inte reellvärd, eftersom man kan stoppa in icke-reella tal. Ursäkta att jag uttryckte mig felaktigt. Jag ska uppdatera inlägget!

---

Tillägg: 17 mar 2024 15:17

Man kanske måste ha som krav att $Re(\frac{x}{y})=\frac{Re(x)}{Re(y)}$ endast om Re(y) är nollskilt.

Bara för att klargöra någonting jag inte är helt hundra på tänker du att $\frac{(a_1,a_2,...)}{(b_1,b_2,...)}=(\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},...)$ i $\mathbb{R}(\epsilon)$?

Nej, det gör jag inte. Jag har inte definierat division på det sättet. Jag har definierat kvoter som ekvivalensklasser av 2-tuplar för en viss ekvivalensrelation. Så division i den meningen existerar inte. Ett exempel:

$\displaystyle \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}=[(\varepsilon, 1+\varepsilon)]_\asymp=\{ (3\varepsilon,3+3\varepsilon),(12\varepsilon,12+12\varepsilon),...,(u\varepsilon,u(\varepsilon+1)) \}, u\in\mathbb{Z}$

Ska skriva mer utförligt när jag har möjlighet. Ursäkta om det är otydligt.

En förutsättning för att $\operatorname{Re}(\frac{x}{y})=\frac{\operatorname{Re}(x)}{\operatorname{Re}(y)}$ för $x,y\in\mathbb{R}[\varepsilon]$ över huvud taget ska ge mening är att $\operatorname{Re}(y)\neq 0$.

Men det är inget större problem! Förutsatt att $y\neq 0$ så kan vi nämligen alltid "förkorta" både $x$ och $y$ med den lägsta potensen i $\varepsilon$ som dyker upp i $y$, utan att ändra ekvivalensklassen  $\frac{x}{y}$.

Det låter väldigt rimligt!

Skulle du kunna ge ett konkret exempel på att att man kan förkorta bort den lägsta potensen i $\varepsilon$? Jag tror jag förstår vad du menar men bara för säkerhets skull.  

Exempel: $w=\frac{\varepsilon^2}{\varepsilon+\varepsilon^2}$.

Här är realdelen för nämnaren noll, så formeln $\operatorname{Re}(x/y)=\operatorname{Re}(x)/\operatorname{Re}(y)$ kommer inte ge mening.

Men förhoppningsvis har du definierat din ekvivalensrelation så att $w$ är lika med $\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}$, och då kan vi säga att

   $\operatorname{Re}(w)=0/1=0\,.$

Tack!

Japp, det har jag! Eller, inte i själva ekvivalensrelationen men jag definierade aritmetik för kvoter på ett sätt som gör att man kan förenkla på det sättet. Är det något jag borde ha i min ursprungliga ekvivalensrelation istället?

Hur har du definierat ekvivalensrelationen? (Jag antar att du har definierat $\mathbb{R}(\varepsilon)$ som mängden $\frac{\mathbb{R}[\varepsilon]\times (\mathbb{R}[\varepsilon]\setminus\{0\})}{\sim}$ av ekvivalensklasser för någon ekvivalensrelation $\sim$.)

Hoppsan, nu pratade jag i nattmössan. Jag hade faktiskt visst definierat relationen så att det är möjligt. Jag körde på den klassiska:

$\displaystyle (x_1,y_1) \asymp (x_2, y_2) \iff x_1 y_2 = x_2 y_1,\; \text{där}\; \; (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in\mathbb{R}[\varepsilon]\times \mathbb{R}[\varepsilon]\setminus \{0 \}$

Så det finns med i relationen att bråk kan förkortas.

Bra!

Nu är bara problemet hur vi ska hantera $\frac{x}{y}$ om $\deg(y)>\deg(x)$, för då kan vi inte åstadkomma en nollskild realdel i nämnaren (jag var lite överoptimistisk tidigare).

Det hela kokar ner till vad vi vill att $\operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})$ ska vara – och det är nog i slutändan en fråga för arkitekten för det här talsystemet att ta ställning till! 

Kan även nämna att du kommer få problem med din räkneregel för multiplikation, eftersom vi enligt den ska ha

   $1=\operatorname{Re}{(1)}=\operatorname{Re}(\varepsilon\cdot\frac{1}{\varepsilon})=\operatorname{Re}{(\varepsilon)}\cdot \operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})=0\cdot \operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})\,,$

vilket är omöjligt om vi vill att $\operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})$ ska vara ett vanligt hederligt reellt tal.

Å andra sidan, de här räkneregelerna gäller ju inte helt ovillkorarat för komplexa tal heller. Till exempel är ju

   $-1=\operatorname{Re}(-1)=\operatorname{Re}(i\cdot i)\neq\operatorname{Re}(i)\cdot \operatorname{Re}(i)=0\cdot 0=0\,.$

Så det är kanske för mycket att begära av ditt talsystem!

Jag förstår inte hur man ska få ut något användbart om man tillåter att man "monterar isär gränsvärden" enligt

$\mathrm{Re}(a\cdot b)=\mathrm{Re}(a)\cdot \mathrm{Re}(b)$

Det vore som att tillåta

$\lim_{x\to x_0}(ab)=\lim_{x\to x_0}(a)\cdot \lim_{x\to x_0}(b)$

Vilket man som bekant bara får göra om varje enskilt gränsvärde existerar.

Exempel:

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\neq \lim_{x\to 0}\left(\sin(x)\right)\cdot \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}\right)$

oggih skrev:

Bra!

Nu är bara problemet hur vi ska hantera $\frac{x}{y}$ om $\deg(y)>\deg(x)$, för då kan vi inte åstadkomma en nollskild realdel i nämnaren (jag var lite överoptimistisk tidigare).

Det hela kokar ner till vad vi vill att $\operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})$ ska vara – och det är nog i slutändan en fråga för arkitekten för det här talsystemet att ta ställning till! 

Kan även nämna att du kommer få problem med din räkneregel för multiplikation, eftersom vi enligt den ska ha

   $1=\operatorname{Re}{(1)}=\operatorname{Re}(\varepsilon\cdot\frac{1}{\varepsilon})=\operatorname{Re}{(\varepsilon)}\cdot \operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})=0\cdot \operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})\,,$

vilket är omöjligt om vi vill att $\operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})$ ska vara ett vanligt hederligt reellt tal.

Bra poäng! Man skulle kanske kunna införa ett krav att $\displaystyle \mathrm{Re}(xy)=\mathrm{Re}(x)\mathrm{Re}(y)$ endast om $y$ och $x$ går att hitta mellan två reella tal. I sådana fall skulle en sådan omskrivning bli olaglig eftersom $1/\varepsilon$ är större än alla reella tal som finns. 

Skulle du kunna komma på något mer fall där dessa omskrivningar leder till felaktigheter, med kravet att $x$ och $y$ måste ligga mellan reella tal?

Jag förstår inte hur man ska få ut något användbart om man tillåter att man "monterar isär gränsvärden"

Det är inte gränsvärden jag försöker montera isär nu, utan bara tal. Jag tyckte det verkade rimligt att man borde kunna göra en sådan omskrivning, t.ex. $\displaystyle \mathrm{Re}(5\varepsilon)=0=\mathrm{Re}(5)\mathrm{Re}(\varepsilon)=5\cdot0=0$. Men tydligen kan man inte montera isär dem helt utan förbehåll. 

Tillägg: 19 mar 2024 14:40

Och hur får ni till realdelssymbolen utan fraktalfonten?

Och hur får ni till realdelssymbolen utan fraktalfonten?

Man kan klicka på "svara" så ser man hur ett inlägg är gjort. Om jag tar bort dubbla dollartecken från första raden i D4NIELs inlägg ser det ut så här: \mathrm{Re}(a\cdot b)=\mathrm{Re}(a)\cdot \mathrm{Re}(b). Med dubbla dollartecken blir det så här: $\mathrm{Re}(a\cdot b)=\mathrm{Re}(a)\cdot \mathrm{Re}(b)$

naytte skrev:

Det är inte gränsvärden jag försöker montera isär nu, utan bara tal. Jag tyckte det verkade rimligt att man borde kunna göra en sådan omskrivning, t.ex. $\displaystyle \mathrm{Re}(5\varepsilon)=0=\mathrm{Re}(5)\mathrm{Re}(\varepsilon)=5\cdot0=0$. Men tydligen kan man inte montera isär dem helt utan förbehåll. 

Ett gränsvärde $a$ är ett tal, på lika fot med alla andra ändliga tal :)

Exakt vilka villkor du vill påföra dina tal för att få "montera isär" dem beror på vad syftet med dina tal egentligen är och hur operationerna är definierade. Men en bra början kan vara att studera hur räknereglerna för gränsvärden härleds i den "vanliga" analysen och sedan låna lite idéer därifrån.

BTW; har du definierat dina operationer i någon tråd någonstans?

Tillägg:

Om du har följande tal:

$a=5+\varepsilon+3\epsilon^2$

$b=5+\varepsilon$

$c=\varepsilon^2$

Vill du väl att

$\displaystyle \mathrm{Re}\left(\frac{a-b}{c}\right)=3\neq \mathrm{Re}\left(\frac{a}{c}\right) - \mathrm{Re}\left(\frac{b}{c}\right)$

Men en bra början kan vara att studera hur räknereglerna för gränsvärden härleds i den "vanliga" analysen och sedan låna lite idéer därifrån.

Det ska jag göra!

Vill du väl att...

Ja, precis. Jag tror att ett krav man bör ha egentligen är att man bara får distribuera in funktionen om nämnaren inte blir noll!

BTW; har du definierat dina operationer i någon tråd någonstans?

Nej, det har jag inte, men jag kan göra det kortfattat här. Mitt system består i nuläget av två mängder, $\mathbb{R}[\varepsilon]$ och $\mathbb{R}(\varepsilon)$.

$\mathbb{R}[\varepsilon]$ ett (euklidiskt) vektorrum med den vanliga euklidiska normen.

Varje element i $\mathbb{R}[\varepsilon]$ har då naturligtvis en vektorrepresenation, t.ex:

$\displaystyle 1+\varepsilon=(1,1)$

$\displaystyle e^\varepsilon=(1,1,\frac{1}{2!},\frac{1}{3!},\frac{1}{4!},...)$

Addition av två vektorer görs termvis och multiplikationen som gäller här är Cauchymultiplikation. Ovan såg du hur jag definierade kvoter. Utvidgningen av $+$ och $\cdot$ är då:

$\displaystyle \frac{p}{q}\cdot \frac{u}{v}:=\frac{pu}{qv}$

$\displaystyle \frac{p}{q}+\frac{u}{v}:=\frac{pv+qv}{qv}$

Mängden av alla kvoter är $\mathbb{R}(\varepsilon)$.

Det här är ett annat litet problem:

Talet $e^\varepsilon:=(\frac{1}{0!},\frac{1}{1!},\frac{1}{2!},\ldots)$ kommer inte att vara ett element i $\mathbb{R}[\varepsilon]$ eftersom det har oändligt många nollskillda koordinater, vilket polynom inte får ha.

(Ett sätt att komma runt detta skulle kunna vara att jobba med mängden Puiseux-serier $\mathbb{R}\{\!\{\varepsilon\}\!\}$ i stället, som jag tror vi diskuterade i PM någon gång.)

Det kanske var dumt att använda beteckningen $\displaystyle \mathbb{R}[\varepsilon]$ eftersom det antyder att mängden bara innehåller polynom. 

Jag kanske är helt ute och cyklar i mitt resonemang (får se vad min handledare har att säga), men det verkar oproblematiskt att definiera $\exp(x)$ för $x\in\mathbb{R}[\varepsilon]$ enligt:

$\displaystyle \exp:\mathbb{R}[\varepsilon] \to \mathbb{R}[\varepsilon], x\mapsto \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$

De kriterier som måste uppfyllas är väl:

• Vi måste veta hur vi multiplicerar våra vektorer
• Vi måste veta att potensserien är konvergent i vektorrummet för alla $x$

Sedan gör vi helt enkelt definitionerna:

$\displaystyle e^{\varepsilon}=e^{(0,1)}:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(0,1)^{k}}{k!}$

$\displaystyle e=e^{(1,0)}:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1,0)^{k}}{k!}$

Men detta kanske kräver att man utvidgar mängden? För att förtydliga att detta blir en vektor med oändligt många nollskilda element.

Jag har faktiskt en fråga om detta medan jag väntar på respons.

Jag arbetar ju i ett vektorrum jag har skapat. Detta vektorrum är egentligen oändligtdimensionellt, och har den vanliga euklidiska normen. Tror ni att man kan tänka på sträcka och avstånd i ett sådant vektorrum på samma sätt som man kan göra i 3-dimensionella vektorrum?

Min intuitiva tanke för varför exponentialfunktionen måste vara väldefinierad är att "sträckan" (med avseende på normen) man rör sig för att nå den punkten måste vara ändlig. Alltså, man skulle kunna betrakta:

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left\| x \right\|^k}{k!}$

Vi vet att denna summa konvergerar eftersom den, som bekant ur den reella analysen, är konvergent för alla reella $x$. Om sträckan är konvergent borde ju den vanliga summan rimligtvis vara konvergent också, eftersom man förflyttar sig en ändlig sträcka i rummet. 

Det är ungefär så jag resonerar intuitivt. Vad tror ni om det? Kan man föreställa sig sträcka och längd på samma sätt här som i finita vektorrum? (detta är ju i princip identiskt med en liknande intuition för varför exponentialfunktioen måste vara väldefinerad för komplexa argument)