Blandningsproblem med exponentiell inflöde

Uppgift lyder:

Min lösning hittills:

Tanken innehåller 45 l vatten och 5,0 l socker. Sammanlagt innehåller tanken 50 l.

y' = IN - UT

IN = 3,0 l/min. Vi är dock intresserade av en funktion som uttrycker sockrets och vattnets separata inflöde.

Här blir y = mängden socker som flöder in av hastigheten 3 l/min, i form av exponentialfunktionen $y =3 \times \frac{C{e}^{kx}}{3}$ där k är en förändringsfaktor och x är förfluten tid i minut. Här tar 3 i nämnaren och täljaren ut varandra.

Vi vet att socker strömmar initialt in med hastigheten 2,0 l/min. Vi kan då ansätta y(0) = 2. Detta blir begynnelsevärdet C = 2.

Vi söker också en förändringsfaktor k. Efter 1 minut är sockerinflödet 1,54 l/min, dvs y(1) = 1,54. Vi sätter detta villkor i funktionen och får:

$$\begin{gathered} y = C{e}^{kx} \\ \Rightarrow 1,54 = 2e^k \\ \Rightarrow \frac{1,54}{2}=e^k \\ \Rightarrow \ln \left(\frac{1,54}{2}\right) = k \\ \mathbf{\Rightarrow }\mathit{k}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{26} \end{gathered}$$

Vår exponentialfunktion är alltså: $\mathit{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\hspace{0.17em}}\mathbf{2}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{26}\mathbf{x}}$

Då kan vi ansätta $\mathbf{IN} \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{26}\mathbf{x}}$

Välblandat vatten och socker flöder ut ur tanken med en konstant hastighet 3,0 l/min. Tanken innehåller 50 l från början, där y är halten socker.

Vi kan då ansätta $\mathbf{UT}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\hspace{0.17em}}\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{50}}$

Detta ger oss differentialekvationen:

 $$\begin{gathered} y\text{'} = IN - UT \\ \Rightarrow y\text{'} = 2e^{-0.26x} - \frac{3y}{50} \\ \Rightarrow \mathit{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{50}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{26}\mathbf{x}} \end{gathered}$$

Vi finner den allmänna lösningen för differentialekvationen genom att först beräkna den homogena respektive inhomogena lösningen.

Homogen lösning:

 $$\begin{gathered} y\text{'} + \frac{3y}{50} = 0 \\ \mathbf{\Rightarrow }\mathbf{ }{\mathit{y}}_{\mathbf{h}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{C}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{50}}} \end{gathered}$$

Inhomogen lösning:

Vi testar partikulärlösningen ${\mathit{y}}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{a}{\mathit{e}}^{\mathbf{k}\mathbf{x}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{o}\mathit{c}\mathit{h}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{y}{\mathbf{\text{'}}}_{\mathbf{p}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\hspace{0.17em}}\mathit{k}\mathit{a}{\mathit{e}}^{\mathbf{k}\mathbf{x}}$

$$\begin{gathered} y\text{'} + \frac{3y}{50}= 2e^{-0.26x} \\ \Rightarrow ka{e}^{kx}+\frac{3a{e}^{kx}}{50}=2e^{-0.26x} \\ \Rightarrow a{e}^{kx}\left(k + \frac{3}{50}\right) =\hspace{0.17em}2e^{-0.26x} \end{gathered}$$

Här vet jag inte hur jag ska fortsätta lösa ut partikulärlösningen.

Uppskattar helst ledtråd så jag kan försöka klura ut det på egen hand. Tack på förhand.