Blandningsproblem - Differentialekvation
Hej, behöver hjälp med att lösa denna uppgift:
"I en tank finns 1000L rent vatten. Klockan 0 börjar saltlösning som innehåller 0.1kg salt/liter att strömma in i tanken med ett volymflöde på 2L/min. I tanken antas det ske en fullständig blandning. Den homogena blandningen pumpas ut ur tanken med volymflödet 4L/min."
Fråga 1: Hur många kg salt finns det i tanken efter 50 minuter?
Fråga 2: Hur många kg salt innehåller tanken som mest?
Jag har gjort en första ansats men vet inte om den är korrekt.
Jag sätter y(t) = Antal kg salt vid t antal minuter efter klockan 0 och ställer upp följande differentialekvation:
y'(t)=0.2 - 2(y(t)/(1000-2t)). Mitt resonemang är att y'(t) = nettoflödet av salt in i/ut ur tanken i kg vid tidpunkt t = kg in per minut - kg ut per minut. Där termen 0.2 representerar faktum att 0.2kg salt konstant strömmar in per minut. I termen -2(y(t)/(1000-2t)) är faktorerna följande: y(t)/(1000-2t) = antal kg salt vid tid t delat med antal liter vatten i tanken (alltså antalet kg salt/L vid tidpunkt t). Multiplicerat med -2 då det strömmar ut 2L vatten per minuten.
Målet med uppgiften är väl att korrekt lösa ut y(t) och:
- I fråga 1 stoppa in t=50
- I fråga 2 studera funktionen y(t) och motivera vid vilket t den når sitt max.-värde. (0 ≤ t ≤ 500)
?
Tack för svar!
Ser bra ut, tycker jag.
Laguna skrev:Ser bra ut, tycker jag.
Jag insåg att det borde nog vara -4y/(1000-2t) istället för -2y/(1000-2t).
Efter lite förenkling då kom jag fram till att: y + y'/(250-t/2) = 0.2.
Jag vet inte riktigt hur jag ska göra för att lösa den diffekvationen. Känns nästan som att jag kommit fram till fel diffekvation.
snoddas skrev:Laguna skrev:Ser bra ut, tycker jag.
Jag insåg att det borde nog vara -4y/(1000-2t) istället för -2y/(1000-2t).
Efter lite förenkling då kom jag fram till att: y + y'/(250-t/2) = 0.2.
Jag vet inte riktigt hur jag ska göra för att lösa den diffekvationen. Känns nästan som att jag kommit fram till fel diffekvation.
y och y' verkar ha bytt plats i dina formler nu.
Edit: det är möjligt att det ska vara 4 och inte 2, så noga läste jag inte förut.
Laguna skrev:snoddas skrev:Laguna skrev:Ser bra ut, tycker jag.
Jag insåg att det borde nog vara -4y/(1000-2t) istället för -2y/(1000-2t).
Efter lite förenkling då kom jag fram till att: y + y'/(250-t/2) = 0.2.
Jag vet inte riktigt hur jag ska göra för att lösa den diffekvationen. Känns nästan som att jag kommit fram till fel diffekvation.
y och y' verkar ha bytt plats i dina formler nu.
Edit: det är möjligt att det ska vara 4 och inte 2, så noga läste jag inte förut.
Oj, ja jag skrev fel. Det ska vara y' + y/(250-t/2) = 0.2
Tror dock att jag håller på att lösa den själv nu.
snoddas skrev:Laguna skrev:snoddas skrev:Laguna skrev:Ser bra ut, tycker jag.
Jag insåg att det borde nog vara -4y/(1000-2t) istället för -2y/(1000-2t).
Efter lite förenkling då kom jag fram till att: y + y'/(250-t/2) = 0.2.
Jag vet inte riktigt hur jag ska göra för att lösa den diffekvationen. Känns nästan som att jag kommit fram till fel diffekvation.
y och y' verkar ha bytt plats i dina formler nu.
Edit: det är möjligt att det ska vara 4 och inte 2, så noga läste jag inte förut.
Oj, ja jag skrev fel. Det ska vara y' + y/(250-t/2) = 0.2
Tror dock att jag håller på att lösa den själv nu.
Jag har en bra substitution annars.
Det ser ut att vara en linjär differentialekvation av första ordningen. Integrerande faktor skulle kunna vara ett sätt att lösa den.
Laguna skrev:snoddas skrev:Laguna skrev:snoddas skrev:Laguna skrev:Ser bra ut, tycker jag.
Jag insåg att det borde nog vara -4y/(1000-2t) istället för -2y/(1000-2t).
Efter lite förenkling då kom jag fram till att: y + y'/(250-t/2) = 0.2.
Jag vet inte riktigt hur jag ska göra för att lösa den diffekvationen. Känns nästan som att jag kommit fram till fel diffekvation.
y och y' verkar ha bytt plats i dina formler nu.
Edit: det är möjligt att det ska vara 4 och inte 2, så noga läste jag inte förut.
Oj, ja jag skrev fel. Det ska vara y' + y/(250-t/2) = 0.2
Tror dock att jag håller på att lösa den själv nu.
Jag har en bra substitution annars.
Om du vill så kan du visa mig den. Det behövs dock inte om du inte känner för det för att jag har med 99% säkerhet en korrekt lösning. :)
parveln skrev:Det ser ut att vara en linjär differentialekvation av första ordningen. Integrerande faktor skulle kunna vara ett sätt att lösa den.
Jag upptäckte det för en stund sedan och har löst uppgiften nu. Men hade jag inte kommit på det hade ditt svar varit till stor hjälp. Tack!
Det blir en väldigt elegant kurva, tycker jag.
