Blandningsproblem
Jag låter y’ vara förändringen av mängden föroreningar efter x år.
Jag bestämmer differentialekvationen y’=hastigheten in - hastigheten ut multiplicerat med andelen.
y’in= y’ut= 6,5*10^10
y’=6,5*10^10-6,5*10^10*(y/1,3*10^13).
Förenklar och löser differentialekvationen
Y’=6,5*10^10-0,005y => Y’+0,005y=6,5*10^10
Yallmän=Yhomogen+Ypartikulär.
Yallmän=ce^(-0,005x)-1,3*10^13.
Löser jag uppgiften med den partikulära lösningen får jag fel svar. Om jag däremot bara använder
ce^(-0,005x) Så blir det rätt. Vad gör jag för fel? Jag tror att jag inte borde få 6,5*10^10 på HL och därmed inte en partikulär lösning. Hur ska man annars veta när man ska använda/bortse från den partikulär lösningen isf?
Tacksam för svar
Rost i ringarna här men ett försök:
Mängden smuts vid tiden t efter stopp är y(t).
Vid tiden t är halten y(t)/V där V är sjöns volym.
Sätt 6,5*1010 till U
Vid tidpunkten t försvinner y(t) *U/V smuts per år.
Så y’(t) = –y(t)*U/V
U/V är en konstant = 6,5/(1,3*103) = 5*10–3 = r, säg.
Vi har alltså y’ + r y = 0
Integrerande faktor ert
erty’ + ert r y = 0
Integrera
ert y = C, komstant
y = C e–rt
1/10 = y(t)/y(0) = e-rt.
Sätt in r = 0,005
1/10 = e–0,005t
ln 0,1 = –0,005 t
t = –(ln 0,1) * 200 ≈ 460 år
Är det rätt?
PS Jag ser att jag inte alls besvarat din fråga. När jag löser förstagradsdiffar med integrerande faktor bryr jag mig inte om partikulär och allmän lösning.
Dessutom fick jag en homogen ekvation, så behovet fanns inte.
Det är rätt svar men jag har inte koll på din metod och finns inte i matte 5 kursen så jag vill gärna första vad jag gör för fel. Tackar ändå för ditt lösningsförslag.
Hoppsan! På min tid började man med integrerande faktor och tog karaktäristisk ekvation senare.
Min ekvation blev
y’ + ry = 0
Karaktäristisk ekv
k+r = 0
k = –r
Homogen lösning
y = Ce–rt
som också är allmän lösning eftersom högerledet är 0.
Du behöver ju inte bestämma C eftersom konstanten förkortas bort (dessutom kan du inte bestämma den eftersom vi inte får reda på hur mycket smuts det var från början; vi ska bara ta reda på hur lång tid det tar för smutshalten att minska 90%.)
Så du kan använda min lösning. Vid orden integrerande faktor hoppar du till lösningen i detta meddelande. Sedan hoppar du tillbaka till y = Ce–rt i första lösningen.
Jag inser också att karaktäristisk ekv är bekvämare än min lösning i denna uppgift.
PS Det blir mycket lättare om man inför bokstäver för de jobbiga tiopotenserna.
Dessutom kan 6,5*1010 / 1,3’1013 förenklas till 5*10–3 = 1/200
