Blandning
Hej!
Jag skulle behöva hjälp med följande uppgift:
Nisse har ett akvarium som innehåller 200 liter vatten, förutom fiskar, växter och stenar. Det bildas nitrat i vattnet och om fiskarna ska hålla sig friska och pigga måste Nisse byta vatten i akvariet.
Tidigare tappade han regelbundet ut 50 liter akvarievatten och ersatte det med lika mycket friskt vatten. Om det före vattenbytet fanns 100 mg nitrat per liter akvarievatten var koncentrationen 75 mg/l efter vattenbytet.
Nu har Nisse utrustat sitt akvarium med en utrustning för vattenbyte. Den pumpar ur akvarievatten och fyller samtidigt på med lika mycket friskt vatten genom en slang. Vattnet som rinner från akvariet kommer att vara väl blandat eftersom motorfiltret är igång hela tiden och flödet i slangen på det tillrinnande vattnet inte är så kraftigt.
Under vattenbytet kan nitratkoncentrationen i akvariet beskrivas med differentialekvationen dy /dx =200 − y där y mg/l är nitratkoncentrationen då x liter friskt vatten tillsatts.
Hjälp Nisse med att lösa ekvationen och beräkna sedan hur mycket vatten som
behöver tillsättas enligt den nya metoden för att sänka nitratkoncentrationen från
100 mg/l till 75 mg/l.
Jag har ställt upp funktionen y = Ce-x/200 och även att y(0) = 200 → C = 200
y = 200e-x/200
När jag sedan sätter 75 = 200e-x/200 får jag x= 139 l.
Hur ska jag tollka mitt svar? Facit svarar nämligen 60 l, vilket får mig att tro att man ska ta 200 -139.
Men som sagt, jag vill gärna förstå hur man kommer fram till det?
Tack på förhand!
Hmmm, börja från differentialekvationen innan du sätter upp en exponentialfunktion. Vi har ekvationen ‚ vilket vi kan möblera om till . Vilka lösningar har den ekvationen? :)
Nu tror jag att jag har insett vad som blivit fel!
y(x) är mängden nitrat, inte mängden vatten (som jag trodde!).
y'(x) = -y/200
y(x) = Ce-x/200
Jag vet att y(0) = 100 mg nitrat, vilket innebär att C=100.
75 = 100e-x/200
Löser jag denna ekvation får jag x= 57,5 liter vatten. Facit svarar däremot 60 liter vatten. Kan det ha med avrundning att göra?
Hmmm, det är någonting med denna uppgift som är märkligt. Uppgiften skriver att
Under vattenbytet kan nitratkoncentrationen i akvariet beskrivas med differentialekvationen dy/dx =200 − y där y mg/l är nitratkoncentrationen då x liter friskt vatten tillsatts.
Uppgiften verkar blanda äpplen och päron här – nitratkoncentrationen från början är 100 mg/l, och nitratmängden är innan vattenbytet 200 mg. Differentialekvationen borde därför antingen vara , eller så måste vi kika på hur mycket vatten som tillsätts vid varje ögonblick. Om vi tänker oss att ekvationen ska vara , måste vi hitta en lösning som uppfyller kravet , samt att .
Jag kollade därför upp vad som står i uppgiften, och det står att 
Det förklarar varför du får lösningen ! Hmmm, ja, då kan vi som du säger bestämma C till 100, och då blir svaret ungefär 57,5 liter.
Det är nog en fråga om avrundning, det har du rätt i. Vi har eventuellt bara en värdesiffra i mätningen 100 mg/l, så det är rimligt att avrunda till en värdesiffra i svaret också. :)
Kort sagt: Ja, det är nog så facit har tänkt.
