Blandade övningar kap 3 uppgift 29

Du behöver två saker:

1. En strategi för hur du ska lösa problemet

2. En funktion för var och en av de linjer som utgör randen för din rotationskropp.

Vi börjar med punkt 1. Antag att du inte hade haft ett hål (att man exempelvis borrar ut hålet efteråt). Hur hade du beräknat volymen för en sådan kropp? För att lösa detta behöver du ett svar på den sneda linjen i punkt 2 ovan.

Återkoppla till vad du kommer fram till så tar vi det därifrån.

Obs!
Den sista biten, om hur det förändras, kommer vi ta efter att du tagit fram ett uttryck för volymen. Det kommer falla ut rätt snyggt när du väl kommer dit.

Stakethinder skrev:

Du behöver två saker:

1. En strategi för hur du ska lösa problemet

2. En funktion för var och en av de linjer som utgör randen för din rotationskropp.

 

Vi börjar med punkt 1. Antag att du inte hade haft ett hål (att man exempelvis borrar ut hålet efteråt). Hur hade du beräknat volymen för en sådan kropp? För att lösa detta behöver du ett svar på den sneda linjen i punkt 2 ovan.

Återkoppla till vad du kommer fram till så tar vi det därifrån.

Obs!
Den sista biten, om hur det förändras, kommer vi ta efter att du tagit fram ett uttryck för volymen. Det kommer falla ut rätt snyggt när du väl kommer dit.

Jag antar att man ska göra en rotationsvolym med cylindriska skal. Men det jag inte fattar är om man ska sätta integrationsgränsen till 0-översta eller alltid från 0-1, 1-2, 2-3 osv (alltså tjockleken)

Eller räcker det att bara räkna ut volymen på olika radier (alltså en cylinderform) och jämnför dem? Eftersom tjockleken på ringarna alltid är samma?

Om du kollar på figur 2 (Radien R=1) och figur 3 (Radien R=2) så ser du på vilket sätt radien påverkar. Integrationsgränser är ju längs med den axel du integrerar, vilket är den axel du roterar kring.

Du ska ansätta att radien är R och ha med R som en faktor i din uträkning.

Tips:
Om du tycker att det är svårt och jobbigt att räkna med bokstäver, börja med att räkna ut volymen för figur 3 som den är (dvs bara räkna med siffror). Det är ett bra delsteg som du lär dig mycket på, och som troligtvis kommer ge dig de ledtrådar du behöver för det generella fallet.

Stakethinder skrev:

Om du kollar på figur 2 (Radien R=1) och figur 3 (Radien R=2) så ser du på vilket sätt radien påverkar. Integrationsgränser är ju längs med den axel du integrerar, vilket är den axel du roterar kring.

Du ska ansätta att radien är R och ha med R som en faktor i din uträkning.

Ska det vara en volym med cylindriska skal eller skivmetoden?

Och hur vet man när man ska använda vad? För om det hade varit cylindriska skal är väl integrationsgränserna i y-led om den roterar kring x?

Hej,

Jag har aldrig hört talas om cylindriska skal och var tvungen att kolla upp vad det var. Verkar krångligt, och verkar vara till för krångliga scenarion där det är svårt att hitta en invers funktion.

Åter till det här problemet:
Du ska använda skivmetoden (dubbelkolla med din lärare om/hur man gör med cylindriska skal!). Min rekommendation är att du tar hela kroppen först och sedan drar bort hålet (antingen som en rotationsvolym, eller genom att konstatera att det helt enkelt är en cylinder)

För att spara lite tid kommer en lösning nedan. Jag rekommenderar dock att du försöker själv i största möjliga mån!

En allmän formel för vår avgränsande linje som så klart är en rät linje, är på formen y=kx+m. Vi vet att både "höjden och tjockleken" på ringarna är 1 cm. Bilderna hjälper oss att inse att lutningen då måste vara 1 (när bredden ökat 1 så har höjden det med). Sedan ma2 vet vi att y(0)=m, som även är vår radie R.

Vår linje är alltså y=x+R

(Hålets ekvation är på motsvarande sätt y=R men det bryr vi oss inte om just nu)

Låt oss kolla på en cirkelskiva (rotation kring x-axeln).
Den cirkulära ytan har då ytan $\pi ·y^2$ eftersom varje cirkelskiva har radien y.

Volymen av en skiva är därmed $\pi ·y^2·∆x =\hspace{0.17em}\mathrm{\pi }·{\left(\mathrm{x}+\mathrm{R}\right)}^2·∆\mathrm{x}$

Om vi summerar dessa får vi hela kroppens volym $\sum _{}^{}\mathrm{\pi }·{\left(\mathrm{x}+\mathrm{R}\right)}^2·∆\mathrm{x}$ (hålet ej borttaget!)

Om vi låter $∆x\to 0$ får vi då ${\int }_0^1\mathrm{\pi }·{\left(\mathrm{x}+\mathrm{R}\right)}^2 d\mathrm{x}$      

[Anm: Oklart om du sett den här övergången från summering till integral. Det är icke desto mindre så det går till, och förklaringen till varför $∆x$ "försvinner". Jag har med det för det gör det hela tydligare.]

Du frågade om integralgränser. Tjockleken på ringarna ändras ju inte, endast radien. Samtliga ringar kommer integreras mellan 0 och 1.

Vi integrerar och förenklar och får:

$\frac{\mathrm{\pi }}{3}{\left[{\left(x+R\right)}^3\right]}_0^1 =\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{\pi }}{3}\left({\left(1+R\right)}^3-R^3\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{3}\left(3R^2+3R+1\right)={\mathrm{\pi R}}^2+\mathrm{\pi R}+\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

Här är det dags att titta på volymen av hålet. Det är ${\int }_0^1{\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{dx} =\hspace{0.17em}{\mathrm{\pi R}}^2$ (vilket så klart är detsamma som volymen av en cylinder med radien R och höjden 1).

Om vi drar bort volymen för hålet från den totala volymen som vi beräknade tidigare får vi

$V\left(R\right)=\mathrm{\pi R}+\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

Nu vill vi jämföra vad som sker om R ökar med 1.

Låt oss säga att vi vill jämföra R=r med R=r+1

$V\left(r\right)=\pi r+\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

$V(r+1)=\pi (r+1)+\frac{\mathrm{\pi }}{3}=\pi r+\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{\pi } =\hspace{0.17em}\mathrm{V}\left(\mathrm{r}\right) + \mathrm{\pi }$

Alltså:
När R ökar med ett. ökar V med $\mathrm{\pi }$.

Tack så jättemycket!

Det var så lite så.

Fokusera på att förstå hur det hela hänger ihop. Det kan vara lurigt att visualisera i 3D. Det enda vi gör är att lägga ihop massa cylindrar (vilket smått magiskt blir en integral där $∆x$ bara "försvinner"). I övrigt är det att inse att kroppen vi söker ihop med hålet blir en större kropp.