blandade övningar

Mahiya99 skrev :

Hej!

 

Jag behöver hjälp uppgift 22 som lyder såhär

Undersök om man kan bestämma konstanterna a och b i funktionen f(x) = ax^3+bx så att funktionen för x= 1 antar maximivärdet 6 

 

Jag antar att man först ska derivera och sedan sätta lika med ett eller ??? 

Funktionen f(x) ska ha ett maxvärde då x = 1.

Det innebär att funktionens derivata f'(x) måste vara lika med 0 då x = 1, dvs det ska gälla att f'(1) = 0. Är du med på det?

Med hjälp av den informationen får du ett samband mellan a och b.

Sedan vill vi att funktionsvärdet vid x = 1 ska vara 6, dvs f(1) = 6. Är du med på det?

Det ger dig ett annat samband mellan a och b.

Med hjälp av dessa två samband kan du lista ut vad a och b ska vara.

Vi kan även använda att punkten (1, 6) ska vara ett maxvärde. Det innebär att andraderivatan f''(x) vid x = 1 ska vara negativ, dvs f''(1) < 0. Är du med på det?

Det ger dig kunskap om a är negativ eller positiv.

när jag deriverar får jag 3ax^2+b sen kan jag ej komma fram till 1?

jag satte lika med noll och fick sedan ax^2+b/3 = 0 sen kom jag ingen vart

Ja det är en bra början.

$f(x)=ax^3+bx$. Det innebär att

$f'(x)=3ax^2+b$. Det innebär att

$f'(1)=3a\cdot 1^2+b=3a+b$.

$f'(1)=0$ innebär alltså att $3a+b=0$

Det innebär att $b=-3a$

Om du nu sätter in detta $b$ i uttrycket för $f(x)$ så får du

$f(x)=ax^3-3ax$

Nu kan du bestämma a genom att du vet att $f(1)=6$.

Kan du fortsätta härifrån?

heej jag löste med ekvationssystem på egen hand och fick fram konstanterna tack ändå

Mahiya99 skrev :

heej jag löste med ekvationssystem på egen hand och fick fram konstanterna tack ändå

Toppen.

Du bör även visa att punkten (1, 6) är en maxpunkt.

Vet du hur du kan göra det?

man kan göra det med hjälp av teckentabell ? 

Mahiya99 skrev :

man kan göra det med hjälp av teckentabell ? 

Ja det fungerar bra.

Eller så kan du använda andraderivatan f''(x) för att ta reda på vilken typ av extrempunkt (1, 6) är.

Du kan läsa lite om det här.

Precis jag vet vad andraderivatan är. Man deriverar en gång till och sätter in x i andraderivatan och om f''>0 är det en minimipunkt 

Om f''<0 är det en maximipunkt 

Mahiya99 skrev :

Precis jag vet vad andraderivatan är. Man deriverar en gång till och sätter in x i andraderivatan och om f''>0 är det en minimipunkt 

Om f''<0 är det en maximipunkt 

Ja om det är enkelt att ta fram andraderivatan så är denna metod väldigt snabb och enkel.

Om det är svårt att derivera så kan en teckentabell vara ett bättre alternativ.

Hej! 

Ja det stämmer. Så kan man göra,men i mitt fall var det enkelt att derivera en gång till. Fast jag valde istället att köra med teckentabell men kom ändå fram till samma sak dvs att 1,6 är en maxpunkt. Men jag skulle föredra andraderivatan eftersom att det är enklare och snabbt.