Blandade MVG/A - Uppgifter som är kluriga

Jag har försökt leta efter lite bra kluriga uppgifter att göra innan nationella provet i matte 4 och hittade nu en sida med 3st uppgifter.

http://matematik.wikidot.com/matematik-d-vt11-ht11:mvg-uppgifter

Jag har försökt mig på de första deluppgifterna på alla fyra uppgifter och där har jag lyckats lösa dem, tror jag i alla fall. T.ex. hittade jag andra derivatan till sin(2x) => -4sin(2x) men sedan när jag ska gå vidare till b) eller framför allt c) och d) är jag helt lost. Jag har försökt på mig dem men kommer ingenstans. Skulle behöva lite hjälp!

Derivator av sin2x
Låt f(x)=sin2x och låt $f^{\left(n\right)}$(x) beteckna den funktion som fås om man deriverar f(x) n gånger.

a) Bestäm f′′(x).

b) Bestäm $f^{\left(100\right)}$(x)

c) Beskriv hur $f^{\left(n\right)}$(x) "ser ut" för godtyckligt n. Du får dela upp i olika fall och kan beskriva både med algebraiskt uttryck och med ord.

d) Betrakta differentialekvationen f′′(x)=−4f(x). Ange så många funktioner f(x) som du kan komma på som uppfyller differentialekvationen.

Sinuskurvor
En allmän sinuskurva kan skrivas på formen y=Asinb(x+c)+d
där vi (i denna uppgift) arbetar i radianer.

a) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8 och minsta värde 2.

b) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8, minsta värde 2 och som går genom punkten ($\frac{\mathrm{\pi }}{6}$,5).

c) Ge exempel på en sinuskurva som, utöver villkoren i b), också uppfyller att ekvationen f′(x)=0 har exakt tre lösningar i intervallet 0≤x≤2π

d) Ange det minsta positiva värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c).

e) Finns det ett största värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c)?

Trapetsapproximationer
Låt f(x)=$e^x$.

a) Bestäm med primitiv funktion ett exakt värde på ${\int }_0^2{e}^{x}dx$
b) Bestäm ett approximativt värde på integralen ovan genom att dela upp i två intervall och använda trapetser.

c) Bestäm ett approximativt värde på integralen ovan genom att dela upp i fyra intervall och använda trapetser.

d) Vilken approximation hamnar närmast det korrekta värdet?

e) För att få ännu bättre approximationer delar man upp i trapetser över fler intervall. Motivera varför man, i fallet då f(x)=$e^x$, får bättre närmevärde till integralen för varje dubblering av antalet intervall.

f) Konstruera en funktion g(x), antingen algebraiskt eller genom att skissa en graf, så att man vid något tillfälle då man dubblerar antalet intervall i sin trapetsapproximation faktisk får ett sämre närmevärde till ${\int }_0^{2}g\left(x\right)dx$