Bladnings problem
Till en behållare som innehåller 100 L rent vatten tillförs saltvatten med en koncenttation på 2 g salt per liter med ett flöde på 3 liter per timme. I behållaren blanda lösningen väl och tappas ut med 3L / h .
(a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver hur mängden salt M(t) i gram för ändras efter t timmar
(b) Lös differentialekvationen och beräkna hur mycket salt som finns i tanken efter 15 h
Jag har räknat ut att 2 g/L * 3L/h = 6 g/h
y/100 g salt blir 2y/100 -> y/50 g /h som flödar ut
men hur går jag vidare??
Börja med att skriva diffekvationen som y'(t) = IN-UT. Hur blir den då?
y’=6-(y/100)*3 -> y’+(3y/100)=6
Du har tydligen diffekvationen y'+0,03y = 6.Det är en inhomogen diffekvation av första ordningen. Vet du hur man löser en sådan?
Är det y=k y'=0 jag ska använda mig av? Så att det blir 0,03k=6 k=200 yp=200?
Ja, du skall ta fram en partikulärlösning (precis som du har gjort), och du skall även lösa motsvarande homogena diffekvation y'+0,03y = 0.
Så att det blir 0,03k=6 k=200 yp=200?
Det här var svårläst - använd flera rader eller skriv pilar!
0,03k=6 => k=200 => yp=200 eller
0,03k=6
k=200
yp=200
yh= Ce^(-0,03x)
y=yh+ yp
y=Ce^(-0,03x) + 200
men hur kommer jag fram till mängden salt efter 15h?
Du använder randvillkoret/begynnelsevillkoret att det är rent vatten från början för att bestämma värdet på konstanten C, och sedan sätter du in t = 15 i funktionen och beräknar värdet.
Jag vet inte
Lös ekvationen f(0) = 0, d v s 0 = C.e0 + 200
Blir svaret så här:
0=C*1+200
0=C+200
C=-200
y(15)=-200*e^(-0,03*15) +200
y(15)≈72,47
Det ser riktigt ut.
