Björn ska skissa en graf 4130

Vilken/vilka villkor finns det för att en funktion ska ha en terasspunkt i en punkt $x=x_0$?

Funktionen ska inte ha en extrempunkt ..?

Jämför $f(x)=x^2$ med $y(x)=x^3$.

De skär alltid origo . Det är vad jag kan se . Men hur ska jag resonera i den uppgiften?

Om du deriverar funktionerna så ser du att både f(x) och g(x) har en stationär punkt i origo.

Om du tar fram andraderivatorna så ser du att även de har värdet 0 i origo.

Det gäller alltså att f'(0) = f''(0) = 0 och att g'(0) = g''(0) = 0.

Men har båda funktionerna en terrasspunkt i origo?

Om du är osäker så bör du använda teckentabeller för förstaderivtorna för att ta reda på de stationära punkternas karaktär 

Nej jag tror inte att alla har en teraspunkt x^2 har exempelvis ingen terasspunkt utan istället en extrempunkt

Det stämmer. Men å andra sidan gäller inte heller att andraderivatan av x² är lika med 0.

Fortsätt istället att jobba med f(x) och g(x), gärna med värdetabeller för f'(x) och g'(x) runt x = 0.

Det är bra träning.

Ska alltså motivera att det inte alltid gäller att f’(0)=f”(0)=0..? Eller ? Förstår inte riktigt varför det ska vara så 

Björn vet att f'(0) = f''(0) = 0.

Din uppgift är att avgöra om det betyder att f har en terrasspunkt vid x = 0.

Alltså, för $f_1(x)=x^2$  har vi att $f'(0)=0≠f''(0)$, håller du med om det?

Och för $f_2(x)=x^3$ har vi att $f'(0)=f''(0)=0$

Andragradaren har en minimumpunkt i $x=0$, tredjegradaren har en terasspunkt i $x=0$

Så hittills kan vi svara med ett "ja" på frågan i uppgiften.

Men undersöker vi $f_3(x)=x^4$ får vi att $f'(0)=f''(0)=0$ som i fallet med tredjegradaren.

Men,fjärdegradaren har en minimumpunkt och inte en terasspunkt, alltså är svaret på uppgiften.... (du får svara) :)

”Alltså, för f1(x)=x2f1(x)=x2  har vi att f'(0)=0≠f''(0)f'(0)=0≠f''(0), håller du med om det?” 

Varför gäller det du har skrivit?

Om f(x) = x² så är f'(x) = 2x och f''(x) = 2. Alltså gäller att f'(0) = 0, men att f''(0) inte är lika med 0.

Men för  f(x)=x^3  gäller det att f(x)=x³ => f’(x)=3x² => f”(x)= 6x 

f(0)=0³ => f’(0) =3*0²=0 => f”(0)=6*0=0 

Ja det stämmer.

Förstår du uppgiften?

Det gäller alltså för dig att visa att påståendet om terrasspunkt vid x = 0 stämmer eller att visa att det inte stämmer.

Vet du hur du ska ta dig an uppgiften?

gäller det alltid att om andraderivatan av f''(0) är noll så är punkten en terasspunkt?

Jag förstår helt ärligt inte hur jag ska tänka i den frågan. Gärna om du kan skriva 1,2,3..osv som du alltid brukar göra

Jag har gjort det i #11, dock utan siffor.

Läs #11 en gång till och försök svara på sista stycket. 

Den här uppgiften är en A-nivå uppgift, så vi vill helst att du anstränger dig lite för att lista ut svaret :)

Återkom gärna med frågor.

Katarina149 skrev:

gäller det alltid att om andraderivatan av f''(0) är noll så är punkten en terasspunkt?

Det är just det du ska utreda.

Jag testade med x^2 och x^3. När vi har funktionen f(x)=x^2 så gäller inte hans påstående. Men när vi har x^3 då gäller påståendet . Vad kan det bero på? 

Katarina149 skrev:

Jag förstår helt ärligt inte hur jag ska tänka i den frågan. Gärna om du kan skriva 1,2,3..osv som du alltid brukar göra

Generellt sett gäller att om du vill visa att ett påstående inte gäller så räcker det att ta fram ett så kallat motexempel.

Som exempel kan vi ta påståendet "För alla reella tal $a$ och $b$ gäller det att $\sqrt{a^2+b^2}$ är lika med $a+b$".

Vi kan enkelt via att detta påstående inte gäller genom att hitta motexemplet $a=1$ och $b=2$. Då är $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

Men $a+b=1+2=3$.

Påståendet stämmer alltså inte för alla reella tal $a$ och $b$

Alltså genom att visa att f(x)=x²  inte ger oss derivatan eller andraderivatan noll så kan jag motbevisa påståendet. Alltså f(x)=x² . f’(x)=2x och f”(x)=2 

f’(0)=0 men f”(0)=2 alltså är hans påstående falskt 

Nej, du ska i så fall visa att det finns en funktion som uppfyller f'(0) = f''(0) = 0, men som inte har en terrasspunkt vid x = 0.

Hmm jag förstår inte vad du menar 

y=x^4 då? Vad gäller för den funktionen?

Påståendet är "Alla funktioner som uppfyller f'(0) = 0 och f''(0) = 0 har en terrasspunkt vid x = 0".

Du ska visa att det inte gäller genom att visa att det finns en funktion som uppfyller f'(0) = 0 och f''(0) = 0 men som ändå inte har en terrasspunkt vid x = 0.

okej om vi testar för f(x)=x⁴

då får jag att f'(0)=4*0³=0

f''(x)=12x²

då blir f''(0)=12*0²=0

men när jag ritar upp funktionen f(x)=x⁴ då ser jag att funktionen inte har en terasspunkt

Ja det stämmer.

Läs nu uppgiften igen.

Kan du då svara på frågan?

Alltså gäller det inte att alla funktioner som uppfyller villkoret f'(0)=f''(0)=0 har en terasspunkt vid x=0 . Funktionen f(x)=x⁴ uppfyller villkoret f'(0)=f''(0)=0 däremot har funktionen ingen terasspunkt vid x=0 utan istället en extrempunkt. Då betyder det att villkoret inte gäller för alla funktioner

Det stämmer.

Bra formulerat.