Birthday problem

Dkcre skrev:

Hej!

Misstänker att det här "problemet" är så pass vanligt att de flesta känner till det, men..

Om vi har 23 personer i samma rum så är chansen ungefär 50% att det kommer finnas minst ett par där två individer har samma föelsedag.

Matematiken i sig för detta är inte alltför intressant, men finner det enormt besvärligt att greppa det här. Jag har kollat YT, läst några artiklar etc, men jag fattar ändå inte riktigt. Tänkte om någon hade något bra sätt att förklara.

Om man räknar ut sannolikheten att det inte kommer inträffa att någon delar samma födelsedag gör man väl enligt följande:

Det blir väl att för person 1 så är sannolikheten 365/365 = 1, och för person 2 är sannolikheten 364/365, för nummer 3 är det 363/365. Sedan multiplicerar man ihop allt det här och tar 1- den produkten. 

Men jag menar, om man väljer ut 23 personer, så är det ju redan bestämt om de kommer dela en födelsedag eller inte. Det är ju inte så att födelsedagarna utfaller helt slumpmässigt. Så när man väljer ut urvalet från början, så är väl sannolikheten att man valt ut 23 stycken unika födelsedagar väldigt stor.

Så oavsett då om en person sedan jämför sig med de 22 andra, och nästa person jämför sig med 21 andra, nästa med 20 etc så är ju resultatet redan bestämt, även om det finns 253 olika möjligheter eller vad det blir.

Om man väljer ut 23 personer slumpmässigt, så är chansen lite mer än 50 % att det finns minst två personer med samma födelsedag. Det är detta som är det intressanta! Sannolikheten att man har valt 23 unika födelsedagar är bara ungefär 50 %.

Vad menar du med att födelsedagerna inte "utfaller helt slumpmässigt"? Variationerna mellan olika datum är ganska liten, med undantag för 29 februari, där det bara är 1/4 så många som alla andra dagar.

Undra vad den verkliga sannolikheten är om man tar hänsyn till att det inte finns lika många som fyller år varje dag.

Eller jämnar det ut sig på något sätt?

Jo, det är intressant. Men jag förstår det inte.

Har läst många förklaringar som ska förklara det konceptuellt men jag grejar det inte i alla fall.

Jag gillar inte riktigt det här problemet eftersom det går att invända mot fördelningen av födelsedagar över året.

Tråkigare men bättre är följande:

Du slår en 365-sidig tärning 23 gånger. Vad är sannolikheten att samma tal kommer upp flera gånger?

Ska fundera över tärningen en stund.

Nej. Svårt.

Det har någonting att göra med att man måste se det ifrån tärningens perspektiv och de redan slagna talens perspektiv. 

Jag vet inte ifall du tänker att du har 22 personer som fyller år på olika dagar och sedan slänger på en 23:e.

Vad är då sannolikheten för att hen får en unik födelsedag? Den blir (365 - 22)/365 ≈ 94 %.

Grejen är ju dock att man från början inte vet om de 22 första personerna har unika födelsedagar. 

Du kan se det som att för varje extra person så läggs en liten sannolikhet till för att några ska dela födelsedag. Med tillräckligt många (tydligen 23 personer) så summerar sannolikheterna för delad födelsedag till > 50 %. 

Har svårt att tänka på det alls faktiskt, klarar inte riktigt av det.

Det ska slumpmässigt ske att på 253 möjligheter ska 23 personer inte ha samma födelsedag.

Tänker man då att varje möjlighet att de inte har samma födelsedag måste ske efter varandra 253 gånger för att det ska vara sant, så känns det lite rimligare i alla fall

Var kom 253 ifrån?

(23x22) / 2

Om du inte har något emot att fråga okända personer saker så kan du prova det här: fråga den ena personen på gatan efter den andra vilket datum de är födda. Räkna hur många du måste fråga innan något datum förekommer för andra gången.

Dkcre skrev:

Nej. Svårt.

Det har någonting att göra med att man måste se det ifrån tärningens perspektiv och de redan slagna talens perspektiv. 

Ja. Tärningen vet inte och påverkas inte av vilka de tidigare utfallen är.

Händelseförloppet blir följande:

Vi slår vår 365-sidiga tärning en gång. Sannolikheten att detta enda resultat är unikt är då självklart 1.

Nu slår vi tärningen ytterligare en gång. Sannolikheten att vårt nya resultat skiljer sig från det första är 364/365 eftersom ett resultat är "taget".

Nu slår vi tärningen en tredje gång. Sannolikheten att detta tredje resultat skiljer sig från de två tidigare är 363/365 eftersom två tal är "tagna".

Och så vidare.

Förstår ändå inte varför det är över 50%. Läste om "pigeon hole" principen som känns användbar här, men kunde ändå inte greppa det. Får ha det i huvudet i några dagar så knyts förhoppningsvis rätt förbindelser ihop tillslut. Annars släpper jag det.

Dkcre skrev:

Förstår ändå inte varför det är över 50%. Läste om "pigeon hole" principen som känns användbar här, men kunde ändå inte greppa det. Får ha det i huvudet i några dagar så knyts förhoppningsvis rätt förbindelser ihop tillslut. Annars släpper jag det.

Men är du med på att sannolikheten att alla 23 törningskasten visar olika resultat är 1•364/365•363/365•...•344/365•343/365?

(... visar att jag inte skrivit ut alla 23 faktorerna)

Ja, jag är med på det. Och att man sedan då tar 1- den kvoten så har man svaret. Alla sannolikheter bygger på varandra.

Men det är mer som, hur ska man exempelvis visualisera 52! Eller greppa det. Unika möjligheter i en kortlek alltså. Eller för mig är det svårt i alla fall. Känns intuitivt som att det bara finns kanske 10000 möjligheter max om man inte räknar på det. Eller även om man räknar på det ändras inte den uppfattningen för mig. 

Dkcre skrev:

Ja, jag är med på det. Och att man sedan då tar 1- den kvoten så har man svaret. Alla sannolikheter bygger på varandra.

Men det är mer som, hur ska man exempelvis visualisera 52! Eller greppa det. Unika möjligheter i en kortlek alltså. Eller för mig är det svårt i alla fall. Känns intuitivt som att det bara finns kanske 10000 möjligheter max om man inte räknar på det. Eller även om man räknar på det ändras inte den uppfattningen för mig. 

Här visualiserar Vsauce det. Det är ett FRUKTANSVÄRT stort tal. I princip omöjligt att greppa.

Tråden kanske är färdig, men jag förstod aldrig precis vad problemet var. Tyckte du att det skulle behövas fler personer innan sannolikheten blev 50%?

Laguna skrev:

Tråden kanske är färdig, men jag förstod aldrig precis vad problemet var. Tyckte du att det skulle behövas fler personer innan sannolikheten blev 50%?

Problemet är att jag inte förstår hur man ska tänka riktigt. Vad som händer. Varför är det så många olika möjliga kombinationer. Troligen är det något du ser som självklart, därför är det svårt.

Kan man se det som att en person går in i ett rum, och har en födelsedag. Sedan går en till in, osv. Och ju fler personer som går in, desto fler dagar måste slumpen undvika för att födelsedagarna inte ska vara lika. Och sannolikheten för att den ska kunna ducka så många gånger i rad gör det till 50%, även om det är ganska låg chans vid få tillfällen. 

Ungefär som att det är 50% chans att få krona när man singlar slant, men det är osannolikt att man lyckas många gånger i rad i alla fall.

Dkcre skrev:

[...]

Kan man se det som att en person går in i ett rum, och har en födelsedag. Sedan går en till in, osv. Och ju fler personer som går in, desto fler dagar måste slumpen undvika för att födelsedagarna inte ska vara lika. Och sannolikheten för att den ska kunna ducka så många gånger i rad gör det till 50%, även om det är ganska låg chans vid få tillfällen. 

[...]

Ja, jag tycker att du beskriver det på ett bra sätt.

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

[...]

Kan man se det som att en person går in i ett rum, och har en födelsedag. Sedan går en till in, osv. Och ju fler personer som går in, desto fler dagar måste slumpen undvika för att födelsedagarna inte ska vara lika. Och sannolikheten för att den ska kunna ducka så många gånger i rad gör det till 50%, även om det är ganska låg chans vid få tillfällen. 

[...]

Ja, jag tycker att du beskriver det på ett bra sätt.

Okej, vad bra. Ja, och slumpen måste undvika alla befintliga födelsedagar för varje gång en ny person går in i rummet, skulle jag ha lagt till.

Om jag tänker mig att alla personer redan sitter i ett rum, så har jag svårt att slita mig ifrån tanken att jag som observerar redan vet när de fyller år. Om jag istället tänker mig att dom har en snurra över huvudet som endast stannar slumpmässigt när de blir tillfrågade om ett datum eller är deras tur att jämföra sig med övriga blir det lättare.

mrpotatohead skrev:

Dkcre skrev:

Ja, jag är med på det. Och att man sedan då tar 1- den kvoten så har man svaret. Alla sannolikheter bygger på varandra.

Men det är mer som, hur ska man exempelvis visualisera 52! Eller greppa det. Unika möjligheter i en kortlek alltså. Eller för mig är det svårt i alla fall. Känns intuitivt som att det bara finns kanske 10000 möjligheter max om man inte räknar på det. Eller även om man räknar på det ändras inte den uppfattningen för mig. 

Här visualiserar Vsauce det. Det är ett FRUKTANSVÄRT stort tal. I princip omöjligt att greppa.

Kollat nu. Att endast 52 kort kan resultera i det där är jäkligt svårt att föreställa sig. Intuitivt utan att räkna känns det som, ja, kanske 10^5 på sin höjd eller någonting.

Dkcre skrev:

Okej, vad bra. Ja, och slumpen måste undvika alla befintliga födelsedagar för varje gång en ny person går in i rummet, skulle jag ha lagt till.

Det behövdes inte, jag tycker att det framgick ändå

Om jag tänker mig att att alla personer redan sitter i ett rum, så har jag svårt att slita mig ifrån tanken att jag som observerar redan vet när de fyller år.

Ja, eller att du tänker att du har 23 personer i ett rum och sedan ber du dem att gå ut ur rummet, en I taget. Då kan du använda samma resonemang som du gjorde nyss. Det blir svårare och svårare för slumpen att "undvika" dubblerade födelsedagar.

Kort sagt så soekar det ingen roll om du samlar alla först och sedan räknar på.sannoiikheten eller om du tar en person i taget.

Om jag istället tänker mig att dom har en snurra över huvudet som endast stannar slumpmässigt när de blir tillfrågade om ett datum eller är deras tur att jämföra sig med övriga blir det lättare.

Det var lite det jag var ute efter när jag pratade om den 365-sidiga tärningen.i

Ja, eller att du tänker att du har 23 personer i ett rum och sedan ber du dem att gå ut ur rummet, en I taget. Då kan du använda samma resonemang som du gjorde nyss. Det blir svårare och svårare för slumpen att "undvika" dubblerade födelsedagar.

Kort sagt så soekar det ingen roll om du samlar alla först och sedan räknar på.sannoiikheten eller om du tar en person i taget.

Nej, precis. Vet att det är så, men kunde ändå inte ändra mitt tankemönster av någon anledning. Lite intressant att det är så svårt att släppa någonting man en gång antagit varit sant.

Säger en del om alla tänkbara tankefel man gör. Tänker allmänt att man gör klokt i att ifrågasätta sin egen bedömning vid de flesta tillfällen, och försöka vara mer objektiv. Oavsett så blir man ju begränsad till sitt eget jag ändå, men man kan ju försöka. Svårt att övertyga sig själv om att ifrågasätta någonting man upplever som en självklarhet dock.

Så är det. Det ör då klokt att be andra att ifrågasätta istället. Pluggakuten är ett utmärkt forum för det.