5 personer sitter på rad, två är osams. Hur tänker jag?

Hej, håller på att lösa några extrauppgifter och har stött på ett problem jag inte förstår hur jag ska lösa. Här kommer frågan

Gabriella, Maria, Matilda, Sara och Sofia ska gå på bio. De har platserna 112-116. Hur många placeringar finns det om Gabriella och Sara har bråkat och inte vill sitta bredvid varandra?

jag tänker: 5!-4

då det är 4 undantag. Men detta blir fel då man ska lösa uppgiften på följande sätt: 5!-4*2*3! Vilket blir 72. Min fråga till er som vill hjälpa är, varför är det på detta viset?

Varför bara 4 undantag?

Laguna skrev:
Varför bara 4 undantag?

men ja nu kom jag på det! De som är osams kan inte sitta på åtta olika sätt då Sara och Gabriella kan sitta på samma plats ”samtidigt”. Sen kan de övriga vännerna sitta på de tre resterande platserna (3!). Så undantaget blir ju 8*3!

Därav lösningen 5!-8*3!

Tack för hjälpen!

Sådana här frågor blir ofta enkla att lösa om man räknar ut det som inte får hända och subtraherar det från det totala. De möjligheter som inte får inträffa brukar kallas för komplement

Kalla de fem personerna för A, B, C, D och E. Där A betecknar Gabriella och B betecknar Sara. Vi börjar med att studera komplementet, d.v.s. då Gabriella och Sara hamnar bredvid varandra. Nedan är några möjliga konfigurationer

ABCDE
CABDE
CDABE

Tänk dig nu att AB är en enda bokstav. Då kan man skapa 4! olika konfigurationer där A och B hamnar bredvid varandra i ordningen AB. Men vi måste även ta hänsyn till att A och B kan sitta bredvid varandra i ordningen BA i varje sådan konfiguration. A och B kan permuteras på 2! olika sätt.

Antalet sätt som Gabriella och Sara kan hamna bredvid varandra är alltså $4! \cdot 2!$

Totalt kan de sitta på $5!$ sätt. Antalet konfigurationer där Gabriella och Sara inte hamnar bredvid varandra är alltså
$5! - 4! \cdot 2! = 72$

theg0d321 skrev:
Sådana här frågor blir ofta enkla att lösa om man räknar ut det som inte får hända och subtraherar det från det totala. De möjligheter som inte får inträffa brukar kallas för kompliment

Kalla de fem personerna för A, B, C, D och E. Där A betecknar Gabriella och B betecknar Sara. Vi börjar med att studera komplementet, d.v.s. då Gabriella och Sara hamnar bredvid varandra. Nedan är några möjliga konfigurationer

ABCDE
CABDE
CDABE

Tänk dig nu att AB är en enda bokstav. Då kan man skapa 4! olika konfigurationer där A och B hamnar bredvid varandra i ordningen AB. Men vi måste även ta hänsyn till att A och B kan sitta bredvid varandra i ordningen BA i varje sådan konfiguration. A och B kan permuteras på 2! olika sätt.

Antalet sätt som Gabriella och Sara kan hamna bredvid varandra är alltså $4! \cdot 2!$

Totalt kan de sitta på $5!$ sätt. Antalet konfigurationer där Gabriella och Sara inte hamnar bredvid varandra är alltså
$5! - 4! \cdot 2! = 72$

Jahaa, tusen tack. Det där var ju mycket enklare att förstå på!

Svara

Visa senaste svar