Binomisk ekvation? Hur som helst en ekvation med bl.a. komplexa rötter

x⁴+8 = 0 är lösbar, 

Du får 4 komplexa lösningar. 

Enklast löser man den med deMoivres formel

se bla här https://sv.wikipedia.org/wiki/De_Moivres_formel

eller kanske bättre här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel

Man kan också utnyttja att komplexa tal som multipliceras får argumentet summerat och beloppen multiplicerade.

Dessutom vet vi att såna här ekvationer har lösningar som är jämnt fördelade på en cirkel.

Alltså x⁴ = -8, x⁴ har alltså argumentet pi och beloppet 8

x₁ har därför argumentet pi/4 och beloppet $\sqrt[4]{8}$

Alla lösningar har samma belopp men argumenten är pi/4+npi/2 där n är 0, 1, 2 eller 3

Airin skrev:

Jag har en förnimmelse av att ha sett följande ekvation i en tidigare e-tenta, och skulle vilja veta om den har lösningar. Jag är medveten om att den saknar reella sådana, men har den komplexa sådana om ekvationen är lika med noll?

Lös ekvationen:

$$\begin{gathered} x^4+8=0 \\ \iff x^4=-8 \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt[4]{-8} \\ \iff x=\pm \sqrt[4]{8i} \end{gathered}$$

Stämmer detta och hur kommer jag i sådana fall vidare?

Har totalt hjärnsläpp och har googlat länge, ber därför om utförligare svar än "Sätt x⁴=y²", för vid det här laget har jag redan testat variabelsubstitution ett dussintal gånger utan att komma vidare.

Varför funkade det inte med den föreslagna variabelsubstitutionen?

Ture skrev:

Visa spoiler

x⁴+8 = 0 är lösbar,

Skriv ditt dolda innehåll här

Du får 4 komplexa lösningar. 

Enklast löser man den med deMoivres formel

se bla här https://sv.wikipedia.org/wiki/De_Moivres_formel

eller kanske bättre här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel

Man kan också utnyttja att komplexa tal som multipliceras får argumentet summerat och beloppen multiplicerade.

Dessutom vet vi att såna här ekvationer har lösningar som är jämnt fördelade på en cirkel.

Alltså x⁴ = -8, x⁴ har alltså argumentet pi och beloppet 8

 

x₁ har därför argumentet pi/4 och beloppet $\sqrt[4]{8}$

Alla lösningar har samma belopp men argumenten är pi/4+npi/2 där n är 0, 1, 2 eller 3

Tack! Så här långt är jag med (sätter z istället för x):

$$\begin{gathered} \left|z\right|=\sqrt{{\left(-8\right)}^2}=8 \\ arg\hspace{0.17em}z=\mathrm{\pi } \\ {\mathrm{z}}^4=8\left(\cos \left(\mathrm{\pi }\right)+\mathcal{i}·\sin \left(\mathrm{\pi }\right)\right) \\ {z}_1=\sqrt[4]{8}\left(\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)+\mathcal{i}·\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\right) \end{gathered}$$

Hur kommer det sig att man lägger till  n$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ för z_z, z_3, z₄ och inte något annat?

Airin skrev:

Ture skrev:

Visa spoiler

x⁴+8 = 0 är lösbar,

Skriv ditt dolda innehåll här

Du får 4 komplexa lösningar. 

Enklast löser man den med deMoivres formel

se bla här https://sv.wikipedia.org/wiki/De_Moivres_formel

eller kanske bättre här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel

Man kan också utnyttja att komplexa tal som multipliceras får argumentet summerat och beloppen multiplicerade.

Dessutom vet vi att såna här ekvationer har lösningar som är jämnt fördelade på en cirkel.

Alltså x⁴ = -8, x⁴ har alltså argumentet pi och beloppet 8

 

x₁ har därför argumentet pi/4 och beloppet $\sqrt[4]{8}$

Alla lösningar har samma belopp men argumenten är pi/4+npi/2 där n är 0, 1, 2 eller 3

Tack! Så här långt är jag med (sätter z istället för x):

 

Hur kommer det sig att man lägger till  n$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ för z_z, z_3, z₄ och inte något annat?

De fyra lösningarna ska ligga ett kvarts varv från varandra. Om vi haft z^6 ligger lösningarna 1/6 varv dvs 2pi/6 från varandra osv

Ett lite mer utförligt svar

Z^4 = k(cos(pi+2npi) +isin(pi+2npi))

Ta fjärderoten ur bägge led

Z = k^0,25(cos(pi/4+2npi/4)+isin(pi/4+2npi/4))

Ture skrev:

Visa spoiler

Ett lite mer utförligt svar

Z^4 = k(cos(pi+2npi) +isin(pi+2npi))

Ta fjärderoten ur bägge led

Z = k^0,25(cos(pi/4+2npi/4)+isin(pi/4+2npi/4))

Juste, nu minns jag. Tack för hjälpen!