5 svar
121 visningar
Volens27 78
Postad: 9 okt 2020 18:01 Redigerad: 9 okt 2020 18:02

Binomisk ekvation.

En uppgift från en gammal tentamen.

Lös ekvationen z6=21-i ,

Eftersom z inte är givet så antar jag att man får 6 lösningar. 

 

Problemet är att lösningarna verkar bli lite krångliga ?

 

Jag får z till 2  

och arg(z)=π4

Sedan får jag dom två ekvationerna r6 =2 r66=26  r = 266φ =π4+n2π  φ = π24+3

Skall man verkligen behöva jobba med 26  ?

Brukar lösa dessa genom vanliga r(cos(φn)+isin(φn)) , dock så blir det väldigt "svåra lösningar".

 

Fattar att det är olyckligt med litet absolutbelopp och hög potens.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 9 okt 2020 18:19

Hej,

Börja med att skriva om högerledet så att nämnaren ej är ett komplext tal.

    21-i=2(1+i)2=1+i\frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{2} = 1+i

Laguna 30218
Postad: 9 okt 2020 18:23

26\sqrt[6]{\sqrt 2} kan skrivas enklare som 212\sqrt[12]2.

Det är avståndet i frekvens mellan två granntangenter på ett piano. 

Volens27 78
Postad: 9 okt 2020 18:24 Redigerad: 9 okt 2020 18:25
Albiki skrev:

Hej,

Börja med att skriva om högerledet så att nämnaren ej är ett komplext tal.

    21-i=2(1+i)2=1+i\frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{2} = 1+i

Japp, där är jag med, och sedan skall jag bestämma absolutbelopp och argument av 1+i och då får jag ovanstående.

alltså z=12+12

Volens27 78
Postad: 9 okt 2020 18:36
Laguna skrev:

26\sqrt[6]{\sqrt 2} kan skrivas enklare som 212\sqrt[12]2.

Det är avståndet i frekvens mellan två granntangenter på ett piano. 

Okej men jag antar det inte går att göra mycket mer åt det, så man kan svara på detta vis ? Har bara skrivit dom 3 första lösningarna.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 9 okt 2020 22:07 Redigerad: 9 okt 2020 22:10
Albiki skrev:

Hej,

Börja med att skriva om högerledet så att nämnaren ej är ett komplext tal.

    21-i=2(1+i)2=1+i\frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{2} = 1+i

Fortsätt sedan med att skriva det komplexa talet på polär form.

    1+i=2eiπ4+i2πn\displaystyle 1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}+i2\pi n} där nn är ett godtyckligt heltal.

Skriv därefter även det okända komplexa talet på polär form z=reivz=re^{iv} vilket ger sjätte-potensen

    z6=r6ei6v.\displaystyle z^6 = r^6 e^{i6v}.

Ekvationen säger nu att r6=212r^6 = 2^{\frac{1}{2}} och 6v=π4+2πn6v = \frac{\pi}{4} + 2\pi n vilket betyder att de sökta komplexa talen är

    zn=2112eiπ24+iπ3n\displaystyle z_n = 2^{\frac{1}{12}} e^{i\frac{\pi}{24} + i \frac{\pi}{3}n}

På ett helt varv (2π2\pi) ryms det 6 stycken π/3\pi/3:ar innan man återkommer till samma punkt på enhetscirkeln, vilket motsvaras av 6 stycken unika komplexa tal znz_n som löser den ursprungliga ekvationen.

Svara
Close