Binomisk ekvation.

Hej,

Börja med att skriva om högerledet så att nämnaren ej är ett komplext tal.

    $\frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{2} = 1+i$

$\sqrt[6]{\sqrt 2}$ kan skrivas enklare som $\sqrt[12]2$.

Det är avståndet i frekvens mellan två granntangenter på ett piano. 

Albiki skrev:

Hej,

Börja med att skriva om högerledet så att nämnaren ej är ett komplext tal.

    $\frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{2} = 1+i$

Japp, där är jag med, och sedan skall jag bestämma absolutbelopp och argument av $1+i$ och då får jag ovanstående.

alltså $\left|z\right|=\sqrt{1^2+1^2}$

Laguna skrev:

$\sqrt[6]{\sqrt 2}$ kan skrivas enklare som $\sqrt[12]2$.

Det är avståndet i frekvens mellan två granntangenter på ett piano. 

Okej men jag antar det inte går att göra mycket mer åt det, så man kan svara på detta vis ? Har bara skrivit dom 3 första lösningarna.

Albiki skrev:

Hej,

Börja med att skriva om högerledet så att nämnaren ej är ett komplext tal.

    $\frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{2} = 1+i$

Fortsätt sedan med att skriva det komplexa talet på polär form.

    $\displaystyle 1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}+i2\pi n}$ där $n$ är ett godtyckligt heltal.

Skriv därefter även det okända komplexa talet på polär form $z=re^{iv}$ vilket ger sjätte-potensen

    $\displaystyle z^6 = r^6 e^{i6v}.$

Ekvationen säger nu att $r^6 = 2^{\frac{1}{2}}$ och $6v = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ vilket betyder att de sökta komplexa talen är

    $\displaystyle z_n = 2^{\frac{1}{12}} e^{i\frac{\pi}{24} + i \frac{\pi}{3}n}$

På ett helt varv ($2\pi$) ryms det 6 stycken $\pi/3$:ar innan man återkommer till samma punkt på enhetscirkeln, vilket motsvaras av 6 stycken unika komplexa tal $z_n$ som löser den ursprungliga ekvationen.