Binomisk ekvation

Dra fjärde roten ur båda led, vad händer?

Edit: Bättre förslag: Använd de Moivre. :)

Standardfråga 1a: Har du ritat? (Ritat in x⁴ i komplexa talplanet, alltså). Sedan håller jag med om de Moivres formel.

Ett annat alternativ är att substituera $t=x^2$, vilket ger dig ekvationen $t^2=-4$.

Lös den och substituera sedan tillbaka till $x$.

Ytterligare ett alternativ är att faktorisera med konjugatregeln:

$x^4=-4$

$x^4+4=0$

$x^4-(2i)^2=0$

$(x^2-2i)(x^2+2i)=0$

och sedan lösa med nollproduktmetoden.

AlvinB skrev:

Ytterligare ett alternativ är att faktorisera med konjugatregeln:

$x^4=-4$

$x^4+4=0$

$x^4-(2i)^2=0$

$(x^2-2i)(x^2+2i)=0$

och sedan lösa med nollproduktmetoden.

Kan man använda denna metoden med alla olika binomiska ekvationer? Ska försöka mig på denna metoden!

Supporter skrev:

Kan man använda denna metoden med alla olika binomiska ekvationer? Ska försöka mig på denna metoden!

Konjugatregeln funkar på uttryck av formen $a^2-b^2$, så en förutsättning för att det ska gå smidigt är att den obekanta storheten förekommer med jämn exponent.

Till exempel ekvationen $x^3-8=0$ blir med konjugatregelns hjälp $(x^{\frac{3}{2}}-\sqrt{8})(x^{\frac{3}{2}}+\sqrt{8})=0$. Tveksamt om det förenklar ekvationslösningen.

Hej!

Om $x$ är ett komplext tal kan det skrivas på polär form.

    $x=re^{iv} \implies x^{4} = r^4e^{i4v}.$

Det komplexa talet $-4+i0$ kan också skrivas på polär form.

   $-4+i0=4e^{i\pi + i2\pi n}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Ekvationen $x^4=-4$ är samma sak som de två ekvationerna

    $r^4=4$ och $4v = \pi+2\pi n$.