Binomisk.ekv eller ej

Fick lite funderingar kring ett par uppgifter som jag gjort.

En uppgift lyder:

Lös den binomsika ekvationen $z^{3} = \frac{- 27 - 27 i}{1 - i}$ ,

här får jag $z_{n}$ antal lösningar, där jag får(i uträkningen) bl.a. sätta 3φ=arg(z) + n2π

En annan tvådelad a,b-uppgift lyder:

Låt $z = \frac{2 i}{1 + i \sqrt{3}}$ , svara på polär form, får $\cos (p i / 6) + i \sin (p i / 6)$

sedan lyder b-uppgiften:

Bestäm $z^{33}$ , Svara på formen a + bi, där a och b är reella. Jag sätter $z^{33} = (\frac{2 i}{1 + i \sqrt{3}})$ , här tänker jag (vid första anblick) att man skall få $z_{n}$ (dock att den kanske är periodisk) lösningar men efter letande ser jag att man kan använda de moivres-formel och att man hoppar över steget med perioden $3 φ = a r g (z) + n 2 π$ som man använde i förra uppgiften. Och detta medför att man bara får ett svar.

Sååå..min fråga lyder varför använder man olika lösningssätt och olika svar när dom är såpass liknande, antar att det kan vara att man skall explicit svara på formen a+bi i den andra uppgiften?

Hoppas att det är någon som förstår vad jag inte förstår. :)

I b-uppgiften skall du inte lösa en ekvation, utan beräkna värdet för z²³ när du redan vet z.. Tips: de Moivres formel, du har ju redan skrivit om z till polär form.

Smaragdalena skrev:
I b-uppgiften skall du inte lösa en ekvation, utan beräkna värdet för z²³ när du redan vet z.. Tips: de Moivres formel, du har ju redan skrivit om z till polär form.

Härligt, tack. Lite intressant att man kan missa att man redan har fått vad z är i uppgiften, jag försöker nog hitta ekvationer i allt jag ser.

Men om vi säger att uppgiften hade varit $z^{33} = \frac{2 i}{1 + i \sqrt{3}}$ , utan att få z tilldelat till oss, så hade vi fått $z_{n}$ antal lösningar förmodar jag? Och skulle sådana uppgifter kunna vara periodiska? Att det räcker att lösa första $z_{1, 2, 3}$ för att se att ett mönster eller loop bildas.

I så fall skulle du ha fått fram 23 stycken lösningar, jämnt fördelade på en cirkel runt origo.

Smaragdalena skrev:
I så fall skulle du ha fått fram 23 stycken lösningar, jämnt fördelade på en cirkel runt origo.

Tack , antar att du menar 33 stycken lösningar.

Förstår att det blir jämt fördelat på en cirkel p.g.a att |z| = 1, kan det hända att det blir exakt samma punkter(lösningar) om man ökar n ?

Eller är det så att en binomisk ekvation $z^{n}$ = något , inte vara (periodisk) eller bilda en loop om du förstår vad jag menar.

Vet att detta inte tillhör min ursprungliga frågeställning men är lite fundersam bara.

Ja, det står tydligen 33, inte 23 som jag såg det som.

Ekvationen z^2m = 1 kommer att ha samma m lösningar som z^m= 1plus m till som ligger mittemellan de "gamla".

Svara

Visa senaste svar