Binomialsatsen - varför har vissa termer samma koefficient?

Jämför t ex $\left(\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right)$ med $\left(\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right)$. Varför blir det samma värde?

Hej!

Det kommer sig av att $a+b$ är samma sak som $b+a$.

Smaragdalena skrev:

Jämför t ex $\left(\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right)$ med $\left(\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right)$. Varför blir det samma värde?

Här blev det nog något tekniskt fel? '7 över 2' etc. skall det nog vara. 

Studera Pascals triangel för att få en snabb översikt vad som sker. 

Hur ser "jämna rader" ut jfrt. "udda rader"?

Studera sedan 'n över k' som Smaragdalena föreslår.

För b) studerar du Pascals triangel igen och studerar 'mitten' på jämna rader. Vad ser du för koefficient där och är den unik jfrt. de övriga koefficienterna på samma rad?

Det gäller att 

$(a+b)^n = a^n + {n\choose 1}a^{n-1}b + {n\choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-2}a^2 b^{n-2} + {n \choose n-1}ab^{n-1} + b^n.$

Det gäller också att

$(b+a)^{n} = b^n + {n \choose 1}b^{n-1}a + {n \choose 2}b^{n-2}a^{2} + \cdots + {n \choose n-2}b^2a^{n-2} + {n \choose n-1}ba^{n-1} + a^{n}.$

Eftersom $a+b=b+a$ så är de två summorna identiska.

Jämför termer för att få exempelvis att ${n \choose 1} = {n \choose n-1}$, koefficienterna för $a^{n-1}b$ och så vidare.