Binomialsatsen uppgift

Ja, det ska vara $C\cdot x^0$.

$x^0=1$ är typen av term, men storleken bestäms av $C$
För att VL=HL måste mycket riktigt exponenterna i VL och HL vara lika, vilket ger:

$12-3k=0$
...

Var försvann b-termen och binomialsatsen har väl ej ett besämt k-värde utan att det varierar beroende på term, så vad indikerar på att det är en särskild term av utvecklingen av uttrycket på första meningen?

Man tittar bara på en av termerna, den där exponenten för x-termen är 0. Just nu försöker man få fram för vilket värde på k detta är sant.

Smaragdalena skrev:

Man tittar bara på en av termerna, den där exponenten för x-termen är 0. Just nu försöker man få fram för vilket värde på k detta är sant.

Hur vet han vilken konstantterm han söker? För k kan ju variera. Man måste ju ange något för att veta vilken term han söker, t.ex. om det stod x^3-termen, men nu står det ju ej.

De söker konstanttermen i utvecklingen av uttrycket $(x^2+\frac{2}{x})^6$.

Utvecklingen består av en summa av 7 termer vars koefficienter bestäms av binomialsatsen.

En del av dessa termer kan med hjälp av potenslagar förenklas till en term som inte innehåller någon faktor $x$, dvs termerna är konstanta oavsett vilket värde $x$ har (därav namnet).

========

Exempel 1

Polynomet $x^2+4x+7$ har en konstantterm som är $7$.

Exempel 2

Uttrycket $\frac{5x^3}{3x^2}+\frac{7x^5}{3x^5}$ kan förenklas till $\frac{5x}{3}+\frac{7x^0}{3}=\frac{5}{3}x+\frac{7}{3}$. I detta uttryck är konstanttermen $\frac{7}{3}$ eftersom den inte beror på $x$.

jag fattar att man kan förenkla ett uttryck till ett annat där den har en konstantterm också. Men hur får han 12-3k=0. Varför blir det noll? hur fick man fram x^0, för det är ju på så vis man finner att det är term 5 man letar konstanttermen på.

Är du med på att varje term i utvecklingen har det här utseendet?

Är du med på att om en sådan term har 0 i exponenten för x så är den en konstantterm, att den inte ska bero av x?

Är du med på att det innebär att k måste vara dubbelt så stor som 6-k?

Yngve skrev:

Är du med på att varje term i utvecklingen har det här utseendet?

Är du med på att om en sådan term har 0 i exponenten för $x$ så är den en konstantterm, att den inte ska bero av $x$?

Är du med på att det innebär att k måste vara dubbelt så stor som 6-k?

Jag är med på att alla termer har det utseende och att om k=6 då blir exponenten noll i x^0. Fattar ej resten. 

Smaragdalena skrev:

Man tittar bara på en av termerna, den där exponenten för x-termen är 0. Just nu försöker man få fram för vilket värde på k detta är sant.

Varför just där den är noll? Är det för att x då försvinner till en konstant 1 och resten blir C för den termen. 

Arbetsmyran skrev:

Jag är med på att alla termer har det utseende och att om k=6 då blir exponenten noll i x^0. Fattar ej resten. 

Bra.

Men det är produkten av faktorn $(x^2)^{6-k}$ och faktorn $(\frac{2}{x})^k$ som ska resultera i att $x$ har exponenten $0$.

Denna produkt är $x^{12-2k}\cdot 2^k\cdot x^{-k}=2^k\cdot x^{12-3k}$.

För att $x$ ska få exponenten $0$ måste det alltså gälla att $12-3k=0$

Arbetsmyran skrev:

Smaragdalena skrev:

Man tittar bara på en av termerna, den där exponenten för x-termen är 0. Just nu försöker man få fram för vilket värde på k detta är sant.

Varför just där den är noll? Är det för att x då försvinner till en konstant 1 och resten blir C för den termen. 

Ja. Man kan skriva konstanten som C^.x⁰, men man brukar bara skriva C.

Yngve skrev:

Arbetsmyran skrev:

Jag är med på att alla termer har det utseende och att om k=6 då blir exponenten noll i x^0. Fattar ej resten. 

Bra.

Men det är produkten av faktorn $(x^2)^{6-k}$ och faktorn $(\frac{2}{x})^k$ som ska resultera i att $x$ har exponenten $0$.

Denna produkt är $x^{12-2k}\cdot 2^k\cdot x^{-k}=2^k\cdot x^{12-3k}$.

För att $x$ ska få exponenten $0$ måste det alltså gälla att $12-3k=0$

Varför är det produkten av faktorerna dom ger en exponenten som är 0? Jag tror att det beror på att sista termen i utvecklad form alltid har a^0 på första termen i binomet (a+b)^n 

1. Vi letar efter konstanttermen för utvecklingen av ${\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^6$, d v s koefficienten för den term där exponenten för x är lika med 0.
2. Alla termer i utvecklingen ser ut som $\left(\begin{array}{c}6\\ k\end{array}\right){\left(x^2\right)}^{6-k}·{\left(\frac{2}{x}\right)}^k$, där k har alla värden från 0 till 6.
3. Vi skulle kunna skriva upp alla sju termerna och bara titta på den där exponenterna är sådana att de x² som finns i täljaren och de x som finns i nämnaren balanserar varandra, så att det inte finns något x kvar i uttrycket - men det är väldigt mycket jobb, och det mesta av det är onödigt. Därför vill vi fundera ut vilken av termerna som är konstant, och bara räkna ut denna. Därför vill vi ta reda på vilket värde på k som gör att uttrycket blir en konstant (d v s inte beror på x).
4. Om man multiplicerar ihop ${\left(x^2\right)}^{6-k}·{\left(\frac{2}{x}\right)}^k$så får man $x^{12-3k}·2^k$, och om det skall vara en konstantterm får vi att x^12-3k = x⁰, så 12-3k = 0.
5. Om man löser ekvationen 12-3k = 0 får man reda på vilket k-värde som ger ett uttryck som är konstant, d v s som inte beror på x.
6. Denna term är $\left(\begin{array}{c}6\\ k\end{array}\right)·2^k·x^0$, så koefficienten är ...

Vilka steg är du med på?

Jag förstår alla förutom 1 och 3. Fattar inte vad det ens är som indikerar på att de tät en viss kofficient. Vänta här, nu kanske jag fattar. Jag skrev tidigare att k kan variera och att man kan svara på frågan ifall det står t. ex. "bestäm kofficient framför x^3" för då vet man vilken term man söker. MEN det står ju här i frågan "bestäm konstanttermen" alltså den termen som inte beror av x, vilket är den som har upphöjt med 0, då det blir 1. Varför förenklar man genom att skriva ihop, beror det på att man vill ha konstant faktorn för sig och x som konstanttermen ej beror av för sig (då den blir 1).

Är det rätt uppfattat att du skulle ha tyckt att uppgiften "Bestäm x⁰-termen" skulle varit mycket enklare än "Bestäm konstanttermen"?

För att få konstanttermen så behövs då alltså produkten av båda termer i binomet vara 0, eftersom det då ger konstant värde på x, därför måste man skriva ihop det innan för att kunna lösa ut vilket k det är. Förenklingen pga För att alla x tillsammans ska ge ett konstant värde. Stämmer detta och stämmer det jag skrev om att konstantterm faktiskt är det som indikerar för mig vilken term jag letar kofficienten på?? 

Och som svar på din fråga, så ja jag uppfattade ej att x^0 var konstanttermen.

Arbetsmyran skrev:

För att få konstanttermen så behövs då alltså produkten av båda termer i binomet vara 0, eftersom det då ger konstant värde på x, därför måste man skriva ihop det innan för att kunna lösa ut vilket k det är. Förenklingen pga För att alla x tillsammans ska ge ett konstant värde. Stämmer detta och stämmer det jag skrev om att konstantterm faktiskt är det som indikerar för mig vilken term jag letar kofficienten på?? 

Jag tror att du menar rätt, men du borde skriva att exponenten för x-termen blir 0 (om en produkt av två termer är 0 så måste antingen den ena eler den andra termen vara 0, och så är det ju inte).

Och som svar på din fråga, så ja jag uppfattade ej att x^0 var konstanttermen.

Då har vi löst det mysteriet!

Smaragdalena skrev:

Arbetsmyran skrev:

För att få konstanttermen så behövs då alltså produkten av båda termer i binomet vara 0, eftersom det då ger konstant värde på x, därför måste man skriva ihop det innan för att kunna lösa ut vilket k det är. Förenklingen pga För att alla x tillsammans ska ge ett konstant värde. Stämmer detta och stämmer det jag skrev om att konstantterm faktiskt är det som indikerar för mig vilken term jag letar kofficienten på?? 

Jag tror att du menar rätt, men du borde skriva att exponenten för x-termen blir 0 (om en produkt av två termer är 0 så måste antingen den ena eler den andra termen vara 0, och så är det ju inte).

Och som svar på din fråga, så ja jag uppfattade ej att x^0 var konstanttermen.

Då har vi löst det mysteriet!

Ja så klart menade jag i exponenten och att faktorerna ger den exponenten som är 0 tillsammans som ges av produkten av faktorerna.

Och bara för att klargöra så är det så här: Varför k inte är 6 som ger x^0, är för att båda faktorer innehåller x och därför behövs det förenklas (för att ALLA x ska försvinna, så termen blir konstant) och på så vis blir inte k=6 utan något annat, i detta fall k=4. Stämmer det? 

Och bara för att klargöra så är det så här: Varför k inte är 6 som ger x^0, är för att båda faktorer innehåller x och därför behövs det förenklas (för att ALLA x ska försvinna, så termen blir konstant) och på så vis blir inte k=6 utan något annat, i detta fall k=4. Stämmer det?

Ja, det stämmer.

EDIT - såg inte att Smaragdalena redan svarat.