Binomialsatsen

Hej, jag har aldrig läst matte 5 innan. Så förklara gärna extra mycket om ni kan svaret!

Det är gällande binomialsatsen, jag har ett par frågor kring det. För det första, hur kan 4 över 2 vara 6? Jag kollade på ett par st videos om detta men de förklarar aldrig hur 4 över 1 = 4 ? Hur vet jag det?

Jag har nu lärt mig mönstret, (a+b)^3 = $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

Men under videona säger de 5 över 2, 5 över 3 osv osv, kan någon snälla förklara detta?

Beteckningen $\binom{n}{k}$ utläses $n$ över $k$ , det kan tolkas som antalet sätt man kan välja ut $k$ stycken objekt från $n$ stycken objekt.

Så när du har $\binom{4}{2}$ så är det alltså antalet sätt vi kan välja ut 2 stycken objekt från 4 stycken. Säg att objekten vi kan välja bland är A, B, C, D så då kan vi alltså välja ut 2 stycken objekt på följande sätt

A B

A C

A D

B C

B D

C D

Alltså 6 stycken olika sätt.

Man kan nu härleda en formel för hur man kan beräkna detta på ett enkelt sätt. Säg att vi har $n$ objekt och ska välja ut $k$ stycken. Vi kan då välja första objektet på $n$ olika sätt, nästa objekt på $n - 1$ olika sätt, nästa på $n - 2$ olika sätt, ända ned till objekt nr k som kan väljas på $n - (k + 1)$ olika sätt. Detta resulterar alltså i

$n\cdot(n - 1)\cdot(n - 2)\cdots (n - (k + 1)) = \frac{n!}{(n - k)!}$

olika sätt man kan göra det på. Men notera här att vi gjort skillnad på exempelvis valet A B och B A, dvs vi gör skillnad på vilken ordning vi väljer dem på. Men eftersom om vi har k stycken objekt, så kan dessa ordnas på $k!$ olika sätt, detta betyder alltså att vi räknat varje urval på $k!$ olika sätt. Så vi kan bara dividera med detta och få det korrekta resultatet.

Därför kommer man fram till att formeln för n över k är

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!}$

Så detta gör att man har ett behändigt sätt att beräkna n över k på.

Okej, så om jag förstår det rätt så hade 5 över 2 varit A,B,C,D,E ?

Då är det

Alltså 10 sätt ?

Formeln du gick igenom på slutet där tror jag att jag förstår, håller nämligen på och läser den just nu! Men har jag förstått det rätt nu med 5 över 2 eller är jag ute och cyklar?

Finns det ngn smartare metod att snabbt komma till svaret?

Ja det ser ut att stämma.

Det snabba sättet är att använda formeln, dvs man får att

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{(5 - 2)! \cdot 2!} = \frac{120}{6\cdot 2} = 10$ .

Stokastisk skrev :
Ja det ser ut att stämma.
Det snabba sättet är att använda formeln, dvs man får att
$\binom{5}{2} = \frac{5!}{(5 - 2)! \cdot 2!} = \frac{120}{6\cdot 2} = 10$ .

Nuuu förstår jag, tack så mycket för det svaret! Det är alltså fakulteten man kommer fram till om det är 10 eller inte! :)

Svara

Visa senaste svar