Binomialsatsen

Nja, du måste nog inte utveckla. Jag skulle tänka såhär: 

Binomialsatsen säger att ${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)a^k·b^{n-k}$. För våra faktorer, $(3-x)^4$ och $(2x-1)^3$, blir detta: 

${\left(3-x\right)}^4=\sum _{k=0}^4\left(\begin{array}{c}4\\ k\end{array}\right)3^k·{(-x)}^{4-k}$

respektive 

${\left(2x-1\right)}^3=\sum _{k=0}^3\left(\begin{array}{c}3\\ i\end{array}\right){\left(2x\right)}^i·{\left(-1\right)}^{3-i}$

Vilket innebär att alla termer i produkten kan skrivas som $\left(\begin{array}{c}4\\ k\end{array}\right)3^k·{(-x)}^{4-k}·\left(\begin{array}{c}3\\ i\end{array}\right){\left(2x\right)}^i·{(-1)}^{3-i}$, för heltal mellan 0 och 4 (för k) respektive mellan 0 och 3 (för i). 

Det ser väldigt komplicerat ut, men för att hitta vilka värden på k och i som ger $x^5$ behöver vi bara titta på x-termerna: 

$\left(\begin{array}{c}4\\ k\end{array}\right)3^k·{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathit{x}\mathbf{)}}^{\mathbf{4}\mathbf{-}\mathit{k}}·\left(\begin{array}{c}3\\ i\end{array}\right){\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{\right)}}^{\mathit{i}}·{(-1)}^{3-i}$

Tvåan och minustecknet kan vi strunta i så länge – de påverkar inte exponenterna. Så vi har alltså $x^{4-k}·x^i=x^{4-k+i}$. För vilka värden på k och i blir exponenten 5? 

Du har två faktorer  a =(3–x)⁴ och b =(2x–1)³

Om du får x⁴ fran a så har du x från b

Om du får x³ från a så har du x² från b

Om du har x² från a så har du x³ från b

a = … x⁴ – (4 över 1) x³ 3¹ + (4 över 2) x² 3² +…
b = … (2x)³ – (3 över 1) (2x)² 1¹ + (2x)¹ (3 över 2) 1² –…

Sedan pusslar du ihop koefficienterna. Jag ser att du redan fått ett svar.

x⁴ x :  1 gånger 2 gånger 3

x³ x² : 4 gånger 3 gånger 3 gånger 4 gånger minus gånger minus

x² x³ : 6 gånger 9 gånger 8

totalt 6 + 144 + 432

Kan nog vara felräknat, men metoden tror jag på.

Små binomialkoefficienter kan man lära sig utantill. Gör man inte det kan man lätt räkna ut dem med Pascals triangel:

         1
       1   1
     1   2  1
   1   3  3  1
  1  4  6  4  1

Här har du dina ⁴C på femte raden.

Så (x+a)⁴ = x⁴ + 4ax³ + 6a²x² + 4a³x + a⁴.