Binomialsats (yes, igen)

Utvecklingen av (x+h)^n (första termen i täljaren till derivatans def. är:

$\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right){\left(x+h\right)}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)x^n·h^0+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}·h^1+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x^1·h^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^n$

Det ger oss uttrycket:

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)x^n·h^0+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}·h^1+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x^1·h^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^n\right)-x^n}{h}= \\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}·h^1+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x^1·h^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^n}{h}= \\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}·\cancel{h^1}+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x^1·h^{n-2}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^{n-1}}}{{\displaystyle \cancel{h}}}= \end{gathered}$$

(Notera att jag strukit ett h från alla termer, se de rödmarkerade termerna).

När vi nu låter h gå mot noll är det endast den vänstra termen i täljaren som inte kommer att multipliceras med noll. Alltså gäller det att $f\left(x\right)=x^n\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=n{x}^{n-1}$. 

Q.E.D.

Imponerande!

Vad om den sista termen är negativt, jag menar att $\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^{n-2}$ blir nu $h^{-2}$? Kan det försvinna? Eller det är nog omöjligt eftersom alla exponenter till polynomer är naturliga tal, eller hur?

Om det hela ska bli h^-2 måste n = 0, dvs. x = 1, och derivatan är lika med noll. Jag tror att det scenariot brukar uteslutas. 

Edit: förlåt. 

Sista fråga:

Vad händer till $x^{n}$?

$x^n$ tar ut den första termen eftersom ${n} \choose {0}$ $= 1$. Se alternativt bevis här som jag gjort för Mattecentrums räkning:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/ovningsexempel/harled-derivatan-av-x-n

Smutstvätt skrev :

Om det hela ska bli h^-2 måste n = 0, dvs. x = 1, och derivatan är lika med noll. Jag tror att det scenariot brukar uteslutas. Det spelar egentligen ingen roll, 0^-2 = 0.

0^(-2)=0 känns som en rätt förhastat slutsats. Eller? 

woozah skrev :

Smutstvätt skrev :

Om det hela ska bli h^-2 måste n = 0, dvs. x = 1, och derivatan är lika med noll. Jag tror att det scenariot brukar uteslutas. Det spelar egentligen ingen roll, 0^-2 = 0.

 

0^(-2)=0 känns som en rätt förhastat slutsats. Eller? 

Slutsats: Smutstvätt ska inte pluggakuta när tvätten är sjuk. 

tomast80 skrev :

$x^n$ tar ut den första termen eftersom ${n} \choose {0}$ $= 1$. Se alternativt bevis här som jag gjort för Mattecentrums räkning:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/ovningsexempel/harled-derivatan-av-x-n

Juuust det, den högsta term koefficient tas ut!

Smutstvätt skrev :

woozah skrev :

Visa föregående citat

Smutstvätt skrev :

Om det hela ska bli h^-2 måste n = 0, dvs. x = 1, och derivatan är lika med noll. Jag tror att det scenariot brukar uteslutas. Det spelar egentligen ingen roll, 0^-2 = 0.

 

0^(-2)=0 känns som en rätt förhastat slutsats. Eller? 

Slutsats: Smutstvätt ska inte pluggakuta när tvätten är sjuk. 

å nej... det blir tråkigt, precis för ny års dagen!

Hej!

Den generella konjugatregeln låter dig skriva

    $(x+h)^n-x^n = (x+h-x)((x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^{2}+\cdots+x^{n-1})$

så att derivatan blir

    $\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} = \lim_{h\to 0} ((x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^{2}+\cdots+x^{n-1}) = x^{n-1} + x^{n-1} + \cdots + x^{n-1} = nx^{n-1}\ .$

Albiki

Tack Albiki!

Jag kan inte se riktigt bra från telefonen, kollar imorgon från datorn! Ha en roligt kväll :)!

dajamanté skrev :

Tack Albiki!

Jag kan inte se riktigt bra från telefonen, kollar imorgon från datorn! Ha en roligt kväll :)!

Tips: Låtsas att du ska citera Albikis inlägg. Då trycks formelraden ihop så att du kan se allt som står. Det är min provisoriska lösning tills buggen har blivit fixad.

Tackar, jag visste inte det!