Binära tal

"Vanliga" tal (tal i tio-bas) är skrivna efter potenser av tio. Den första siffran längst till höger har värdet av siffran gånger 10^0. Nästa siffra har värdet av siffran gånger 10^1. Siffran efter det har värdet av siffran gånger 10^2, och så vidare. Binära tal skrivs i 2-bas, då används samma taktik fast med tvåor. Man använder en etta för att representera "på" och en nolla för "av". I talet: 10110010 får vi då:

  1        0       1       1        0        0       1       0

2^7 ; 2^6 ; 2^5 ; 2^4 ; 2^3 ; 2^2 ; 2^1 ; 2^0

2^7 är på, 2^6 är av, 2^5 är på, 2^4 är på, 2^3 är av, 2^2 är av, 2^1 är på, 2^0 är av. Då räknar vi ihop det: 2^7+2^5+2^4+2^1=178.

Förstår du hur du ska göra nu?

Jag är ledsen, men jag förstår fortfarande inte. Jag förstår att ett tal med basen två alltid skrivs med nollor och ettor för att det är enbart dom siffrorna man kan använda när man skriver ett tal med basen två. Med basen tre gäller siffrorna 0,1,2. Med basen fyra 0,1,2,3. Osv. Men jag är helt lost fortfarande förstår inte hur 55tio kan bli det där....

Förstår du att 55 i basen tio betyder 5*10+5*1?

Du försöker lösa allt på en gång. Ta ett steg i taget:

1 decimalt (basen 10) = 01 binärt (basen 2)
2 decimalt = 10 binärt
3 decimalt = 11 binärt
4 decimalt = 100 binärt
5 decimalt = 101 binärt

Är du med så långt?

Om man utgår från decimala systemet, så är talet 55 och 88 lika med:
 $$\begin{gathered} 50 + 5 \\ 80 + 8 \end{gathered}$$ 
vilket man känner nog igen från grundskolan.

Men istället för att säga att man bryter ner talen i tusental, hundratal o.s.v. så använder man istället begreppet tiopotenser:
${10}^n + {10}^{n-1} + ... + {10}^3 + {10}^2 + {10}^1 + {10}^0$ 

Om vi skulle då bryta ner talet 89183 med metoden som man lärde sig i grundskolan så skulle man kunna skriva om det som
89183 = 80000 + 9000 + 100 + 80 + 3
men istället kan man bryta ner det i tiopotenser, vilket skulle få det att se ut så här
$8·{10}^4 + 9·{10}^3 + 1·{10}^2 + 8·{10}^1 + 3·{10}^0$  --- (observera att man skriver 80000 som $8·{10}^4$ o.s.v.)

Men skillnaden med binära tal är den att man bara har två stycken siffror, 1 och 0.
Det betyder då att man bryter då ner olika tal med tvåpotenser
$2^n + 2^{n-1} + ... + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0$
och att man enbart multiplicerar dem med talen 1 eller 0.

Vi tar då ett exempel. Hur skulle man skriva om talet "13" (observera att jag utgår att talet "13" är decimaltal) med tiopotenser respektive tvåpotenser? Jo:
$$\begin{gathered} 1·{10}^1 + 3·{10}^0 \\ = 10 + 3 = 13 \end{gathered}$$ 
och i binärt
$$\begin{gathered} 1·2^3 + 1·2^2 + 0·2^1 + 1·2^0 \\ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 \end{gathered}$$
observera talen som vi multiplicerar tvåpotenserna med och om du placerar ut dem i den ordning som de har ovanför, d.v.s. 1101, så har du skrivit om talet "13" i binär form.

Så för att få fram svaren till din fråga, så måste du addera ihop tvåpotenser tills du har det tal du önskar dig. För att göra det lättare att lösa den kan jag skriva ut några värden på tvåpotenser:

$$\begin{gathered} 2^0 = 1 \\ {2}^1 = 2 \\ {2}^2 = 4 \\ {2}^3 = 8 \\ {2}^4 = 16 \\ {2}^5 = 32 \\ {2}^6 = 64 \\ {2}^7 = 128 \end{gathered}$$

Multiplicera sedan bara tvåpotenserna med antingen 1 eller 0 sådant att du får fram det svar du söker efter.

Så om jag har mitt tal som är 55tio och ska skriva det bas 2 gör jag såhär: 1*2^5+1*2^4+0*2^3+1*2^2+1*2^1+1*2^0 = 110111två?!

Har jag uppfattat det rätt? 

ilovechocolate skrev :

Så om jag har mitt tal som är 55tio och ska skriva det bas 2 gör jag såhär: 1*2^5+1*2^4+0*2^3+1*2^2+1*2^1+1*2^0 = 110111två?!

Har jag uppfattat det rätt? 

 Ja. Bra!

Är det samma sak med andra baser. Ska man tänka på samma sätt. T. ex. Om jag ska skriva 13 i bas tre gör jag såhär: 1*3^2+1*3^1+1*3^0 = 111tre. Eller är jag helt ute och cyklar? 

ilovechocolate skrev :

Är det samma sak med andra baser. Ska man tänka på samma sätt. T. ex. Om jag ska skriva 13 i bas tre gör jag såhär: 1*3^2+1*3^1+1*3^0 = 111tre. Eller är jag helt ute och cyklar? 

Nej inte cyklar du inte, nu kör du ju racerbil bland talbaserna!

Helt rätt tänkt.

Om jag istället ska skriva 50tio med basen sex, gör jag såhär då: 1*6^2+2*6^1+2*6^0= 122sex

26tio med basen fem => 1*5^2 + 0*5^1+1*5^0 = 101fem 

50tio med basen två => 1*2^5+1*2^4+0*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0= 110010två.

241fem med basen 10, hur löser man detta? Förstår att det är samma sak fast omvänt. Men hur ska man börja tänka? 

${241}_{fem}=2·5^2+4·5^1+1·5^0$ = 2*25+4*5+1 = ...

Juste, så var det. Nu känner jah mig dum! :P

Men hur löser man detta då kvadraten av 88nio med nio bas?! Hur skriver man något som redan är i nio bas i nio bas? Och kvadraten av 88nio, blir det då 88nio^2 => 7744nio, eller kanske 7744åttioett?! :S

Precis som nittionio är (10^2 - 1) och niohundranittionio är (10^3 - 1), så är 88nio lika med...

Kan du då någon bra regel att använda för kvadrering?

Ehm... vad menar du? Menar du att åttioåttanio är lika med (10^2-12)? :S

Den vanligaste kvadreringsregeln är väll (a+b)^2 eller (a-b)^2?! 

Nej, men 9^2-1 respektive 9^3-1. Det är den andra av kvadreringsreglerna som är användbar.

Okej. Så 9^2-1 = 81-1 =80, sen blir 9^1-1=9-1=8 och 9^0-1=0 => 80+8+0=88. Haha. Okej, nu är jag rätt så säker på att detta är fel. Men kände att jag behövde göra något iaf. Det står helt stilla här annars...

... Raderat ett helt inlägg ... Feltänk.

$({88}_{nio}{)}^2= (9^2-1{)}^2$ Använd andra kvadreringsreln (eller multiplicera ihop parenteserna ändå). Vad blir det? Kan du skriva det med bas 9?

$$\begin{gathered} {88}_9={100}_9-1_9 \\ Sedan är det bara att kvadrera. vad får du då i stället för frågetecknet? \\ {\left({100}_9-1_9\right)}^2 = {?}_9 \end{gathered}$$