Binära operationer och grupper

Den andra frågan kan du lösa med wikipediasidan https://sv.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matematik) eller antagligen med första stycket om grupper i din lärobok. Kopierat från wikipedia, med svaren markerade, nedan:

En grupp (G, •) är en mängd G (Ändlig krävs ej, G falsk) tillsammans med en binär operator, grupp-operationen, representerad med tecknet ' • ', på G (det vill säga en funktion från G × G till G, dvs när man applicerar operationen på två element i gruppen måste resultatet också ligga i gruppen (A sann), något som ibland uttrycks som att operationen är sluten) som uppfyller följande villkor:

Associativitet: För alla a, b och c i G gäller (a • b) • c = a • (b • c). (B & F sanna)
Existens av identitet: Det finns ett element e i G, kallat identiteten i G, med egenskapen e • a = a = a • e för alla a i G. (D sann)
Existens av inverser: För varje a i G finns ett element b i G, kallat inversen till a, med egenskapen a • b = e = b • a, där e är identiteten i G. (H sann)

En konsekvens av dessa villkor är att identiteten i gruppen är unik. En annan konsekvens är att varje element har en unik invers.

En grupp (G, •) sägs vara kommutativ, eller vanligare abelsk, om den dessutom uppfyller följande villkor:

Kommutativitet: För alla a och b i G gäller a • b = b • a. (Krävs ej, C & E falska)

För den första frågan får du tänka på vad kommutativ, associativ och binär betyder:

Associativ: $(a*b)*c=a*(b*c)$ för $a,b,c\in M$

Kommutativ: $a*b=b*a$ för $a,b,c\in M$

Binär på M: $a*b\in M$ för $a,b\in M$

Av de fyra räknesätten gäller då att:

• + är en associativ och kommutativ binär operator på heltalen (t.ex: $1+2=2+1$, $(1+2)+3=1+(2+3)$ )
• - är en binär operator, men varken associativ eller kommutativ ($2-1\neq 1-2$, $(3-2)-1 \neq 3-(2-1)$ )
• * är en associativ och kommutativ binär operator på heltalen (t.ex: $1*2=2*1$, $(1*2)*3=1*(2*3)$ )
• / är varken associativ, kommutativ eller binär på heltalen ($1/2$ är inget heltal, $1/2 \neq 2/1$, $(1/2)/3\neq 1/(2/3)$)

För att påvisa egenskaperna krävs såklart mer än ett exempel, men jag tror det räcker för att förstå.

Tack så jättemycket!!