Bildrum till en matris

Bildrummet utgörs av linjärt oberoende vektorer! :)

Men hur får man fram dem isåfall?

Undersök om några av de fyra vektorerna är linjärt beroende, genom att se om någon av dem kan skrivas som en linjärkombination av de andra. :)

Fråga 2: Bildrummet spänns alltså upp av tre vektorer från R^3. Både bildrummet och R^3 är alltså 3-dimensionella, och det betyder att bildrummet är samma rum som R^3 (du har 3 stycken 3-dimensionella basvektorer).

Ett liten annan grej: jag skulle säga att definitionen av bildrummet är det rum av vektorer som alla vektorer avbildas på om de avbildas enligt en viss avbildning. Exempelvis, om en avbildning projicerar vektorer i R^3 på ett plan genom origo är planet avbildningens bildrum eftersom alla avbildningar hamnar i detta rum.

Att bildrummet sedan spänns upp av de linjärt oberoende kolonvektorerna i avbildningsmatrisen är snarare en följd av denna definition

Ditt svar är inte fel egentligen. Ditt spann är också ${\mathrm{ℝ}}^3$.

Du vet att ${\mathrm{ℝ}}^3$ är tredimensionellt. Dvs vi kan hitta tre vektorer som är linjärt oberoende, men aldrig fyra vektorer som är linjärt oberoende. Så vi vet a priori att åtminstone en kolumnvektor i matrisen kan plockas bort utan att det linjära spannet ändras.

Det gäller att identifiera ett maximalt antal linjärt oberoende kolumner till matrisen, dessa kommer då att utgöra en bas för bildrummet.

I vårt fall kan man se att de tre första kolumnerna är linjärt oberoende. Tex genom att beräkna determinanten

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right|$

och kolla att den är skild från noll.

Därför utgör dessa vektorer en bas för bildrummet. Men eftersom varje uppsättning av tre linjärt oberoende vektorer i ${\mathrm{ℝ}}^3$ är en bas för ${\mathrm{ℝ}}^3$ så spänner dessa vektorer upp hela ${\mathrm{ℝ}}^3$. Så bildrummet är ${\mathrm{ℝ}}^3$.