Bildrum Im(L) vad menas?

Kan det ha med nån projektion att göra?

Dr. G skrev:

Kan det ha med nån projektion att göra?

Kan vara det, men hur ska man göra om en vektor ligger utan för ett rum och vad betyder ||L(x) - b||

Avbildningen kommer att hamna någonstans i ett plan i R3.

Vektorn b ligger här enligt uppgiften inte i detta plan. 

Du vill då hitta den vektor i planet som ligger närmast vektorn b, d.v.s att normen av vektorn L(x) - b är så liten som möjligt. 

Dr. G skrev:

Avbildningen kommer att hamna någonstans i ett plan i R3.

Vektorn b ligger här enligt uppgiften inte i detta plan. 

Du vill då hitta den vektor i planet som ligger närmast vektorn b, d.v.s att normen av vektorn L(x) - b är så liten som möjligt. 

Så använda mig av projektion formeln för b på planet?

Ja, precis. Hur blir det i c)?

Dr. G skrev:

Ja, precis. Hur blir det i c)?

Jag tror nog att man ska använda sig av projektion men samtidigt använda mig av minsta kvadrat saken, vet inte riktigt vilken dock.

Du kan använda båda sätten.

1. Lös ekvationen $L\left(\overrightarrow{x}\right)=Pro{j}_{Im\left(L\right)}\left(\overrightarrow{b}\right)$.

2. Lös ekvationen $L^{T}L\overrightarrow{x}=L^T\overrightarrow{b}$.

PATENTERAMERA skrev:

Du kan använda båda sätten.

1. Lös ekvationen $L\left(\overrightarrow{x}\right)=Pro{j}_{Im\left(L\right)}\left(\overrightarrow{b}\right)$.

2. Lös ekvationen $L^{T}L\overrightarrow{x}=L^T\overrightarrow{b}$.

Vilket sätt är det enklaste?

Testa båda.

PATENTERAMERA skrev:

Testa båda.

Men när man menar med L är det då matrisen alltså L(x) = Ax där A är matrisen?

Ja, man kan beskriva verkan av avbildningen L mha en matris, som vi för enkelhets skull också kan kalla L.

$L=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$

PATENTERAMERA skrev:

Ja, man kan beskriva verkan av avbildningen L mha en matris, som vi för enkelhets skull också kan kalla L.

$L=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$

så Im(L) = den matrisen du skrev?

PATENTERAMERA skrev:

Du kan använda båda sätten.

1. Lös ekvationen $L\left(\overrightarrow{x}\right)=Pro{j}_{Im\left(L\right)}\left(\overrightarrow{b}\right)$.

2. Lös ekvationen $L^{T}L\overrightarrow{x}=L^T\overrightarrow{b}$.

L^T är ju en 2X3 matris och b är en 1X3, det går inte att göra dot product.

Man brukar representera vektorerna som kolonnvektorer när man räknar med matriser.

$\overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$
$\overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$

Matrisen L är standardmatrisen till avbildningen L.

Im(L) = värdemängden till avbildningen L = det linjära spannet av kolonnerna i matrisen L.

PATENTERAMERA skrev:

Man brukar representera vektorerna som kolonnvektorer när man räknar med matriser.

$\overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$
$\overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$

Matrisen L är standardmatrisen till avbildningen L.

Im(L) = värdemängden till avbildningen L = det linjära spannet av kolonnerna i matrisen L.

ok! dock har jag gjort med 2. och fått 1/3 (7, -2)^T men vet inte hur jag ska göra med projektionens sätt det funkar inte för mig och jag vet inte varför ;-;

PATENTERAMERA skrev:

Man brukar representera vektorerna som kolonnvektorer när man räknar med matriser.

$\overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$
$\overrightarrow{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$

Matrisen L är standardmatrisen till avbildningen L.

Im(L) = värdemängden till avbildningen L = det linjära spannet av kolonnerna i matrisen L.

så Im(L) =

?

Im(L) är det underrum till R³ som spänns upp av vektorerna $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right] och \left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right]$. Dvs alla vektorer som kan skrivas på formen $\alpha \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right]$, där $\alpha , \beta \in \mathrm{ℝ}$.

Du kan se detta som ett tvådimensionellt plan i R³.

Du kan bilda en normal $\overrightarrow{n}$ till detta plan genom att kryssmultiplicera kolonnerna i matrisen L.

$\overrightarrow{n}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right]$.

Projektionen (ortogonal) på Im(L) kan räknas ut mha normalen på vanligt sätt.

$Pro{j}_{Im\left(L\right)}\left(\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{b}-\frac{\left(\overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{n}\right)}{{||\overrightarrow{n}||}^2}\overrightarrow{n}$.

Alternativt kan du tillämpa Gram-Schmidt på kolonnerna i matrisen L.