Bilda lag om 3 med villkor

Ampere skrev:

Jag tänkte att de fyra bästa spelarna placeras i 4 olika lag. Eftersom det finns totalt 6 lag kan de placeras ut på

6!/ 2! =  $6·5·4·3$ = 360 olika ställen.

Ja, om spelarna heter A,B,C,D och lagen heter 1,2,3,4,5,6 så finns det 360 sätt att placera spelarna (max en i varje lag).

Sedan är deras position "låsta", då blir antalet kombinationer:  $\left(\begin{array}{c}14\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\times 1$

Ja, det är så du kan placera de övriga spelarna.

På a)-uppgiften dividerade jag antalet kombinationer med 6! och därför gjorde jag det också i b) uppgiften. 

Då blev det      360  $\frac{\left(\begin{array}{c}14\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\times 1}{6!}$

Här låter det som om du inte riktigt vet varför du delar med 6!

Men är mitt tankesätt rätt? Har nämligen sett andra lösningar där de tänker att det endast är de grupperna utan de bästa spelarna som kan bli dubbletter. Är tanken då att de fyra grupperna med de bästa spelarna blir unika och att de inte kommer räknas dubbelt? Men jag tänker att om t.ex.  grupp 1 innehåller ABC (där A är en av de bästa spelarna) så skulle ju den gruppen också kunna ha nummer 2 och ändå vara samma grupp. Därför delade jag med 6!.  Ju mer jag tänker på det desto mer förvirrad blir jag!

Du har börjat med att vara noga med ordningen, och räknat som om numret på laget vore viktigt. Men ordningen spelar ingen roll. Om personer A, G och K spelar i ett lag så kvittar det om laget heter 2 eller 3 eller något annat nummer. (Det är kanske inte helt självklart, men så tolkar jag frågan)

De 6 lagen kan placeras i ordning på 6! olika sätt. Där har du din faktor.

Därför sätter jag helt enkelt först A,B,C,D i varsitt lag så här:

Sedan placerar jag två spelare hos A, två hos B, osv. Det blir 14över2 * 12över 2 * ... som du har räknat.

Avslutningsvis konstaterar jag att de två helgröna lagen kan byta plats, och delar med 2.

Vad är 360 / 6!   ?

Okej jag börjar förstå lite bättre nu, och ja, det stämmer att  jag inte har full koll på varför man delar med 6! i a).

Jag har endast fått lära mig att i situationer där man ska dela in personer i grupper/lag så ska kombinationerna delas med permutationerna av antalet lag. Utifrån det som jag har förstått beror det på att det inte spelar någon roll om t.ex. personerna A, B, C hamnar i lag 1 eller i lag 2 eftersom det ändå blir en kombination av en grupp oavsett vilket nummer på lag de har. Och då spelar ordningen ingen roll. 

Men varför är det endast de två helgröna lagen som kan byta plats med varandra i b)- frågan? 

(360/6! kom från på hur många sätt som de fyra bästa spelarna kunde placeras dividerat med hur många sätt som jag först trodde att lagen kunde ordnas på)

Här har jag placerat de övriga spelarna också, i en av alla möjliga kombinationer:

Dessutom har jag numrerat varje lag. Nu skulle man kunna behålla personerna i alla lag, men byta nummerlapp på dem. Det kan man göra på 6! olika sätt.

Som vanligt: Först ger vi ett nummer (sex möjliga) åt lag EKA, sedan ett (fem möjliga) åt lag FLB, ... och lag JPR tar det nummer som är kvar. Totalt 6*5*4*3*2*1 möjligheter.

Jag struntar i nummerlapparna, och sätter det lag där A råkade hamna som första lag. När jag skall välja As två lagkamratet kan jag göra det på 2över14 sätt. Exemplet visar ett av dessa sätt.

Sedan sätter jag B som andra lag, och väljer lagkamrater på 2över12 sätt,  osv.

När jag skall välja det femte laget har jag inte någon medlem förvald. I det här exemplet blev det IOQ. och så fick det bli JPR i det sista laget. Jag skulle lika gärna kunna valt JPR i det femte laget, så hade IOQ hamnat i sista laget.  Jag skulle alltså kunnat få samma utfall på två sätt - det motsvarar bara att lagen "byter plats" men jag sade ju från början att ordningen inte spelar någon roll.

Du har gjort samma sak och haft nästan full koll. Den långa multiplikationen fick du rätt, och så tog du ( 360 / 6! ) som alltså är just "delat med två".   360 / (6*5*4*3'2*1) = 1/2

Det finns 360 sätt att ge A,B,C,D varsin nummerlapp, och som avslutning struntar vi i nummerlapparna genom att dela med 6! så att du och jag får samma rätta svar.

Stort tack för den tydliga förklaringen, nu förstår jag!