Bilda inversfunktion, definitionsmängd (Matematik/Matte 4)

Hej och välkommen till Pluggakuten!

$\sqrt{y+1}$ är det positiva tal, vars kvadrat är lika med $y+1$ .

Ekvationen $x^2=y+1$ har lösningsmängden $x=\pm\sqrt{y+1}$ . Observera plusminus.

Det första fetmarkerade: Eftersom det står angivet i uppgiften att $x\geq0$ så är "minuslösningen" inte aktuell i det här fallet.

Det andra fetmarkerade, dvs det som visas i bilden nedan, verkar vara fel avskrivet i facit. Kan du ladda upp en bild av facit?

$f^{-1}(x) = \sqrt{y+1}$ kan inte vara rätt. Den beroende variabeln är x, så det ska stå nånting med x i högerledet, inte y. (Eller tvärtom, bara y, inte x.)

Välkommen till Pluggakuten!

fattiglapp skrev:
Hej
detta kanske inte just berör inversfunktionen, men då jag stötte på problemet just när jag nu håller på med invers funktion tar jag upp detta.

Bestäm invers funktion

f(x) = x²-1, x≥0

y= x²-1
x²=y+1

Hit är det rätt

x=± $\sqrt{x + 1}$ är det

men harä blev det fel, det skall vara $x=\pm\sqrt{y+1}$ , inte ett x under rottecknet.

jag har inget problem med detta. Däremot händer det något nu enligt facit som jag inte förstår varför:

Eftersom x≥0 är x = $\sqrt{y + 1}$ .

När det står $\pm$ är det ju inte en funktion, eftersom samma y-värde skulle ge två olika x-värden.

Vi gör sedan ett variabel byte och byter ut variabeln y mot x

f^-1(x) = $\sqrt{y + 1}$ , x≥1

Jag förstår faktist inte vad som menas med det fetstilta.

Har du verkligen skrivit av det sista rätt? Det borde stå $f^{-1}(x)=\sqrt{x+1},x\ge-1$ , eftersom man oftast vill använda x som oberoende variabel.

Tack för era svar. Självklart ska det stå x istället för y på den sista. Det jag undrar är var x $\geq$ -1 kommer ifrån

nu svarar jag på min egna fråga, det är ju för att man inte kan ta roten ur 0

Jag skrev lite i affekt, det finns en annan fråga som gäller samma sak, jag laddar upp den snart. ursäkta

Visst kan du ta roten ur 0, men vi kan inte dra roten ur negativa tal. :)

Det jag undrar är var x≥-1 kommer ifrån

Om x är mindre än -1 blir det negativt under rottecknet. Då går det inte att dra roten ur (om man vill vara kvar i de reella talen). Dessutom kan din ursprungliga funktion aldrog bli mindre än -1. Värdemängden för den ursprungliga funktionen blir definitionsmängd för inversen, och definitionsmängden fär den ursprungliga funktionen blir värdemängd för inversen.

fråga b)

Detta är min lösning

Lösningen stämmer överens med facit. Men jag vill veta om jag förstår det hela rätt.
Att y>0 beror på att x>-1 sen byter man variablerna. Är detta korrekt tänkt?

Gör en ny tråd om den nya frågan.

fattiglapp skrev:

fråga b)

Detta är min lösning

Lösningen stämmer överens med facit. Men jag vill veta om jag förstår det hela rätt.
Att y>0 beror på att x>-1 sen byter man variablerna. Är detta korrekt tänkt?

Enklast att tänka är såhär:

Om vi betecknar definitionsmängd som följande: D_g(x), där g(x) är en godtycklig funktion, och V_g(x) för värdemängden.

Dessa beteckningar används för intervallen.

$[a, b]$ = $a \leq x \leq b$

$(a, b) = a < x < b$

Defintionsmängd

Vi vet enligt uppgiften att $x \geq - 1$ , därav kan vi skriva dess def. mängd som D_f(x) = $[- 1, \infty]$

Värdemängd

Eftersom $x \geq - 1$ och vi inte har en 0:a i täljare, så kan vi aldrig få y = 0, så V_f(x) = $(0, \infty]$

Om en funktion har en invers funktion (tror inte man pratar om detta i matte 4, såvitt jag vet), så kommer, precis som smaragdlena sa, den inversa funktionen f^-1(x) ha f(x):s värdemängd som sin definitionsmängd, och ha f(x):s definitionsmängd som värdemängd.

Så det smidigaste sättet att få fram def.mängd / värdemängd för den inversa funktionen är att hitta den ursprungliga funktionens def.mängd / värdemängd och sedan vända på dem.

f(x) : D_f(x) -> V_f(x)

f^-1(x) : V_f(x) -> D_f(x)

beerger skrev:
fattiglapp skrev:

fråga b)

Detta är min lösning

Lösningen stämmer överens med facit. Men jag vill veta om jag förstår det hela rätt.
Att y>0 beror på att x>-1 sen byter man variablerna. Är detta korrekt tänkt?

Enklast att tänka är såhär:

Om vi betecknar definitionsmängd som följande: D_g(x), där g(x) är en godtycklig funktion, och V_g(x) för värdemängden.

Dessa beteckningar används för intervallen.

$[a, b]$ = $a \leq x \leq b$

$(a, b) = a < x < b$

Defintionsmängd

Vi vet enligt uppgiften att $x \geq - 1$ , därav kan vi skriva dess def. mängd som D_f(x) = $[- 1, \infty]$

Värdemängd

Eftersom $x \geq - 1$ och vi inte har en 0:a i täljare, så kan vi aldrig få y = 0, så V_f(x) = $(0, \infty]$

Om en funktion har en invers funktion (tror inte man pratar om detta i matte 4, såvitt jag vet), så kommer, precis som smaragdlena sa, den inversa funktionen f^-1(x) ha f(x):s värdemängd som sin definitionsmängd, och ha f(x):s definitionsmängd som värdemängd.

Så det smidigaste sättet att få fram def.mängd / värdemängd för den inversa funktionen är att hitta den ursprungliga funktionens def.mängd / värdemängd och sedan vända på dem.

f(x) : D_f(x) -> V_f(x)

f^-1(x) : V_f(x) -> D_f(x)

Ja det skrivs om detta i matematik 4.

Men i mitt exempel så är ju definitionsvärdet på den ursprungliga funktionen x>(-1) Hur skulle jag ta fram värdemängden ?

Men man talar aldrig om hur man tar reda på om en funktion har en invers funktion va? Alla funktioner har nämligen inte en invers funktion.

Ska försöka förklara hur du tar fram värdemängd. Kan du lite snabbt beskriva vad du själv vet om värdemängd? Så jag kan anpassa mig efter vad du redan vet.

Det gäller att en funktion $f$ är inverterbar, dvs det existerar en invers omm $f$ är bijektiv. Dvs, $f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$ i dess definitionsmängd.

Gör en ny tråd angående din andra uppgift så det inte blir så rörigt. /Moderator

beerger skrev:
Men man talar aldrig om hur man tar reda på om en funktion har en invers funktion va? Alla funktioner har nämligen inte en invers funktion.

Ska försöka förklara hur du tar fram värdemängd. Kan du lite snabbt beskriva vad du själv vet om värdemängd? Så jag kan anpassa mig efter vad du redan vet.

Det är väl just där definitionsmängden kommer in? Att man inte kan bilda inverser ur alla funktioner, utan måste begränsa med definitionsmängd.

Men åter till mitt problem. Jag har säkert glömt något viktigt, för det känns så när jag sysslar med definitionsmängder och värdemängd. Jag vet att värdemängden beror på definitionsmängden.

Jag kan inte riktigt förstå varför en uppgift som

y= f(x) = $\frac{1}{x + 1}$ har en definitionsmängd x>-1 x kan väl vara -2 , då blir y = -1 . Däremot förstår jag att x kan inte vara -1 för då blir det 0, och inte definierat.

Dracaena skrev:
Det gäller att en funktion $f$ är inverterbar, dvs det existerar en invers omm $f$ är bijektiv. Dvs, $f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$ i dess definitionsmängd.

Gör en ny tråd angående din andra uppgift så det inte blir så rörigt. /Moderator

Detta är ju dock inget man går igenom i matte 4, och kräver ju dessutom en förklaring på injektion och surjektion för att @fattiglapp ska kunna ha någon nytta av detta.

Det där är ju dessutom bara defintionen för injektion. Surjektion kräver ju: $\forall y \in V_{f (x)} \exists x \in D_{f (x)} : f (x) = y$

beerger skrev:
Dracaena skrev:
Det gäller att en funktion $f$ är inverterbar, dvs det existerar en invers omm $f$ är bijektiv. Dvs, $f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$ i dess definitionsmängd.

Gör en ny tråd angående din andra uppgift så det inte blir så rörigt. /Moderator

Detta är ju dock inget man går igenom i matte 4, och kräver ju dessutom en förklaring på injektion och surjektion för att @fattiglapp ska kunna ha någon nytta av detta.

Ja men det känns märkligt att man berör inverser utan att beröra just detta. Inverser är väl ingenting man lär sig i matte 4? Jag träffade först på detta när jag läste envariabel och då börjar man med att nämna med att en funktion $f$ måste vara bijektiv för att en invers ska existera. Det är ju av just denna anledning som $x^2-1$ kräver $x \geq 0$ i uppgiften eftersom det inte annars finns en invers om vi inte begränsar $f$ .

Dracaena skrev:
beerger skrev:
Dracaena skrev:
Det gäller att en funktion $f$ är inverterbar, dvs det existerar en invers omm $f$ är bijektiv. Dvs, $f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$ i dess definitionsmängd.

Gör en ny tråd angående din andra uppgift så det inte blir så rörigt. /Moderator

Detta är ju dock inget man går igenom i matte 4, och kräver ju dessutom en förklaring på injektion och surjektion för att @fattiglapp ska kunna ha någon nytta av detta.

Ja men det känns märkligt att man berör inverser utan att beröra just detta. Inverser är väl ingenting man lär sig i matte 4? Jag träffade först på detta när jag läste envariabel och då börjar man med att nämna med att en funktion $f$ måste vara bijektiv för att en invers ska existera. Det är ju av just denna anledning som $x^2-1$ kräver $x \geq 0$ i uppgiften eftersom det inte annars finns en invers om vi inte begränsar $f$ .

Jag håller med dig! Jag tror nämligen att alla inversa funktioner som man ska hitta i matte 4, är av funktioner som är bijektiva. Tror inte de kräver att man först tar reda på om en invers ens existerar.

fattiglapp skrev:
beerger skrev:
Men man talar aldrig om hur man tar reda på om en funktion har en invers funktion va? Alla funktioner har nämligen inte en invers funktion.

Ska försöka förklara hur du tar fram värdemängd. Kan du lite snabbt beskriva vad du själv vet om värdemängd? Så jag kan anpassa mig efter vad du redan vet.

Det är väl just där definitionsmängden kommer in? Att man inte kan bilda inverser ur alla funktioner, utan måste begränsa med definitionsmängd.

Men åter till mitt problem. Jag har säkert glömt något viktigt, för det känns så när jag sysslar med definitionsmängder och värdemängd. Jag vet att värdemängden beror på definitionsmängden.

Jag kan inte riktigt förstå varför en uppgift som

y= f(x) = $\frac{1}{x + 1}$ har en definitionsmängd x>-1 x kan väl vara -2 , då blir y = -1 . Däremot förstår jag att x kan inte vara -1 för då blir det 0, och inte definierat.

Jag förstår din fundering. Man har helt enkelt valt att begränsa funktionen.

Dracaena skrev:
beerger skrev:
Dracaena skrev:
Det gäller att en funktion $f$ är inverterbar, dvs det existerar en invers omm $f$ är bijektiv. Dvs, $f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$ i dess definitionsmängd.

Gör en ny tråd angående din andra uppgift så det inte blir så rörigt. /Moderator

Detta är ju dock inget man går igenom i matte 4, och kräver ju dessutom en förklaring på injektion och surjektion för att @fattiglapp ska kunna ha någon nytta av detta.

Ja men det känns märkligt att man berör inverser utan att beröra just detta. Inverser är väl ingenting man lär sig i matte 4? Jag träffade först på detta när jag läste envariabel och då börjar man med att nämna med att en funktion $f$ måste vara bijektiv för att en invers ska existera. Det är ju av just denna anledning som $x^2-1$ kräver $x \geq 0$ i uppgiften eftersom det inte annars finns en invers om vi inte begränsar $f$ .

Det enda de nämnde för oss i envariabel, är följande:

"Om f är injektiv, så finns det en invers funktion f^-1 till f, som definieras av att x = f^-1(y) <=> y = f(x)

Att kräva bijektion är i sig korrekt, men endast om en målmängd är explicit given. Detta eftersom bijektion kräver att

$\forall y \in B \exists x \in A : f (x) = y, o m v i l å t e r f d e f i n i e r a s p å f ö l j a n d e s ä t t : f : A \to B$

Med andra ord, så måste målmängden B vara lika med f:s värdemängd. Så om $V_{f} \neq B$ så är f inte surjektiv, och därav saknar invers.

När man skriver t.ex. $f (x) = x^{2}$ , så menas egentligen $f : ℝ \to ℝ o c h x \mapsto x^{2}$

Även om vi begränsar x till $x \geq 0$ , för att få injektion så saknas ju egentligen surjektion. Ty målmängden är $ℝ$ ,

men värdemängden är ju bara $[0, \infty)$ . Således är målmängden $\neq$ värdemängden, och surjektion finns ej. Då saknas bijektion. Men man kan ju ofta lätt få fram värdemängden genom definitionsmängden, och då begränsa målmängden så att den är samma som värdemängden, och därigenom få bijektion.

Det är ju oftast det man gör. Om man får i uppgift att hitta inversen till f(x) = x², där $x \geq 0$ . Så skriver man ju upp def. mängden och räknar ut dess värdemängd. Hittar inversen, och flippar def.mängd o värdemängd. Så man använder ju def.mängden för att räkna ut värdemängden, och därigenom automatiskt begränsar målmängden så att den är samma.

Annars skulle man behöva bevisa surjektion varje gång, och det är betydligt jobbigare än t.ex. injektion.

När han tar fram en inversfunktion av en funktion så byter definitionsmängden och värdemängden plats, dvs definitionsmängden för f blir istället värdemängden för $f^{- 1} .$ För att ta fram en invers så löser man för den oberoende variabeln (x) och sedan byter plats på f(x) och x.

MathematicsDEF skrev:
När han tar fram en inversfunktion av en funktion så byter definitionsmängden och värdemängden plats, dvs definitionsmängden för f blir istället värdemängden för $f^{- 1} .$ För att ta fram en invers så löser man för den oberoende variabeln (x) och sedan byter plats på f(x) och x.

Var det menat som ett svar till det jag skrev, eller till hans ursprungliga fråga?

beerger skrev:
MathematicsDEF skrev:
När han tar fram en inversfunktion av en funktion så byter definitionsmängden och värdemängden plats, dvs definitionsmängden för f blir istället värdemängden för $f^{- 1} .$ För att ta fram en invers så löser man för den oberoende variabeln (x) och sedan byter plats på f(x) och x.

Var det menat som ett svar till det jag skrev, eller till hans ursprungliga fråga?

Svarade på originalfrågan, har inte följt hela diskussionen men såg att den var ganska lång. Så jag antar att ni redan har förklarat tillräckligt.

MathematicsDEF skrev:
beerger skrev:
MathematicsDEF skrev:
När han tar fram en inversfunktion av en funktion så byter definitionsmängden och värdemängden plats, dvs definitionsmängden för f blir istället värdemängden för $f^{- 1} .$ För att ta fram en invers så löser man för den oberoende variabeln (x) och sedan byter plats på f(x) och x.

Var det menat som ett svar till det jag skrev, eller till hans ursprungliga fråga?

Svarade på originalfrågan, har inte följt hela diskussionen men såg att den var ganska lång. Så jag antar att ni redan har förklarat tillräckligt.

Okej, förstår! Som jag har förstått det har hen fått svar på alla frågor han hade. Jag och @Dracaena hamnade på ett sidospår :p Så tråden blev lite väl rörig!