bild och kärna

hej

jag behöver hjälp med följande uppgifter:

a) $\emptyset : ℝ^{+} \Rightarrow ℝ^{+}$ definierad enligt $\emptyset (x) = \sqrt{x}$

b) $\emptyset : ℝ^{*} \Rightarrow ℝ^{*}$ definierad enligt $\emptyset (x) = 1 / x^{2}$

c) $\emptyset : ℝ^{*} \Rightarrow ℝ^{+}$ definierad enligt $\emptyset (z) = |z|$

Bestäm bilden och kärnan till var och en av homomorfismerna.

Jag förstår inte varför man får samma bild dvs $i m \emptyset = ℝ^{+}$ på samtliga uppgifter.

Alla funktionerna avbildar ju på bara positiva reella tal och träffar ju hela den mängden. Alltså måste bilden vara $\mathbb{R}^+$ i samtliga uppgifter.

okej så om vi hade haft z utan absolutbelopp eller x utan rotenur, hade vi fått $i m \emptyset = ℝ$ eftersom z då hade kunnat anta negativa tal?

Om du inte hade haft absolutbeloppen så hade du ju haft identitetsavbildningen, så då skulle bilden vara samma som domänen, dvs $\mathbb{R}^*$ .

Om du inte hade haft rotenur så hade du återigen haft identitetsavbildningen, så bilden är samma som domänen, dvs $\mathbb{R}^+$ .

okej, när man sedan ska bestämma kärnan så ser jag att i a ska svaret bli $k e r \emptyset = {1]$ för a uppgiften och $k e r \emptyset = {1, - 1}$

där är jag inte heller med på hur dom får fram svaren. Varför får vi (1) i a men 1,-1 i b?

I a) så söker du alltså lösningarna till

$\sqrt{x} = 1$

vilket enbart är $x = 1$ och i b så söker du lösningarna till

$1/x^2 = 1$

vilket är $x = \pm 1$ .

okej men då blir väl svaret för $\emptyset (z) = |z|$ samma som b dvs $x = \pm 1$

Ja det bör det bli.

Svara

Visa senaste svar