Bild

Hej

jag försöker lösa en uppgift om grupphomomorfi, jag har fått rätt på att den är injektiv men har problem med att lista ut hur man kommer fram till att den inte är surjektiv:

Låt w=(145)(23) i $S_{5}$ och $\emptyset : ℤ_{6} \to S_{5}$ vara en grupphomomorfi som uppfyller $\emptyset (5 + 6 ℤ)$ =w

Bestäm om $\emptyset$ är injektiv och/eller surjektiv

jag har kommit fram till att $\emptyset$ är injektiv men i svaret så står det att den inte är surjektiv eftersom exempelvis (1234) inte förekommer som bild.

Jag förstår inte riktigt hur man tar reda på bilden, hur vet man att (1234) inte förekommer som bild?

Hej!

Jag tänker såhär: Du vet att $\phi([5]_{6}) = w$ och på grund av att $\phi$ är en homomorfi mellan de två grupperna $(S_5, \circ)$ och $(\mathbf{Z}_{6},+)$ så vet du att

$\phi(n\cdot[5]_{6}) = w^{n}$ .

Om $S_{5}$ är cyklisk och genereras av $w$ så är $\phi$ surjektiv.

Albiki

För att få fram bilden så kan man göra så som Albiki beskriver. Men om man bara är ute efter att avgöra om den är surjektiv så räcker det med att notera att ordningen på $S_5$ är 5! medan ordningen på $\mathbb{Z}_6$ är 6. Därför kan den inte vara surjektiv.

Svara