Bevisteknik medelvärden av summor

Uppgift: Bevisa att olikheten $A \geq G$ gäller för aritmetiska medelvärdet $A$ och geometriska

medelvärdet $G$ av två tal $a_{1} \geq 0$ och $a_{2} \geq 0$ samt att $A = G \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}$ .

Ledning: se på $A^{2} - G^{2}$ .

Givet är att

$G = \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} a_{k}} = \sqrt[n]{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}$

I detta fall:

$G = \sqrt[2]{a_{1} a_{2}} = \sqrt{a_{1} a_{2}}$

A blir summan av de två talen delat med två:

$A = \frac{a_{1} + a_{2}}{2}$

Då talen $a_{1} \geq 0, a_{2} \geq 0$ blir $A \geq 0, G \geq 0$

Visa likhet:

$A = G \Leftrightarrow A^{2} = G^{2} \Leftrightarrow A^{2} - G^{2} = 0$

$A^{2} - G^{2} = {(\frac{a_{1} + a_{2}}{2})}^{2} - {(\sqrt{a_{1} a_{2}})}^{2} = \frac{a_{1}^{2} + 2 a_{1} a_{2} + a_{2}^{2}}{4} - a_{1} a_{2} =$

$= / a_{2} = a_{1} / =$

$= \frac{4 a_{1}^{2}}{4} - a_{1}^{2} = 0$

Visa olikhet:

För att olikheten $A \geq G$ ska gälla måste $A - G \geq 0$

$A \geq G \Leftrightarrow A^{2} \geq G^{2} \Leftrightarrow A^{2} - G^{2} \geq 0$

Här fastnar jag dock. Kan utveckla A och G precis som för likheten men det resulterar just nu enbart i att jag går i cirklar. Är det rätt tillvägagångssätt att utveckla från $A^{2} - G^{2}$ ?

Antar för övrigt att $A = G \Leftrightarrow A^{2} = G^{2}$ gäller då båda summorna är positiva. Stämmer det?

Du har ju ekvivalensen:

$A\geq G\Leftrightarrow A^2-G^2\geq0$

Precis som du föreslår kan du utveckla precis som du gjort i det förra fallet:

$A^2-G^2\geq0$

$(\dfrac{a_1+a_2}{2})^2-\left(\sqrt{a_1a_2}\right)=\dfrac{a_1^2+2a_1a_2+a_2^2}{4}-\dfrac{4a_1a_2}{4}=\dfrac{a_1^2-2a_1a_2+a_2^2}{4}=(\dfrac{a_1-a_2}{2})^2$

Ser du nu varför det gäller att detta uttryck är större än eller lika med noll?

Det stämmer precis som du säger att $A=G\Leftrightarrow A^2=G^2$ så länge $A$ och $G$ är positiva.

Jaa, haha, tänkte inte på det! Hade skrivit så långt men kopplade inte kvadraten.

Den blir ju som minst noll oavsett om a1 är större än, lika med eller mindre än a2.

Tack för hjälpen!

Svara