Bevisföring

Anta att f´ är konstant på intervallet [a,b]. Bevisa att f måste vara en linjär funktion. 

Jag har tänkt så här:

Enligt medelvärdesatsen har vi då: 

$f\left(b\right)-f\left(a\right)=f´\left(c\right)(b-a)$

Om vi antar att det finns ett x-värde där x>a så kan vi ställa upp ekvationen:

f(x)-f(a)=f´(c)(x-a) där f´(c)=k

f(x)-f(a)=kx-ka

f(x)=kx-(ka-f(a)) där ka-f(a) är en konstant och kan därför skrivas om som ka-f(a)=m där m är en konstant

f(x)=kx-m            V.S.B.

Kan den här vara en godkänd bevisföring?