Bevisa z1=a+bi och z2=a-bi

Du kan t.ex. lösa andragradsekvationen algebraiskt med hjälp av pq-formeln eller kvadratkomplettering, jämföra lösningarna med de givna rötterna och därifrån ta fram sambanden mellan a, b, p och q.

Men din ursprungliga plan kanske är enklare ändå.

Tänk då på att (z-z₁)(z-z₂) = (z-(a+bi))(z-(a-bi)) = ((z-a)-bi)((z-a)+bi).

Använd nu konjugatregeln, förenkla och jämför sedan med ursprungsuttrycket z²+pz+q

Yngve skrev:

Men din ursprungliga plan kanske är enklare ändå.

Tänk då på att (z-z₁)(z-z₂) = (z-(a+bi))(z-(a-bi)) = ((z-a)-bi)((z-a)+bi).

Använd nu konjugatregeln, förenkla och jämför sedan med ursprungsuttrycket z²+pz+q

Jag ser inte riktigt hur du får ((z-a)-bi)((z-a)+bi)

Evanescos skrev:

Jag ser inte riktigt hur du får ((z-a)-bi)((z-a)+bi)

(z-(a+bi))(z-(a-bi)) = (z-a-bi)(z-a+bi) = ((z-a)-bi)((z-a)+bi)

Yngve skrev:

Evanescos skrev:

Jag ser inte riktigt hur du får ((z-a)-bi)((z-a)+bi)

(z-(a+bi))(z-(a-bi)) = (z-a-bi)(z-a+bi) = ((z-a)-bi)((z-a)+bi)

Men varför är det paranteser runt z-a? Är det för att bi är imaginära delen?

Nej, det är för att det ska bli lättare för dig att se hur du ska använda konjugatregeln (x-y)(x+y) = x²-y², där x = z-a och y = bi.

Yngve skrev:

Nej, det är för att det ska bli lättare för dig att se hur du ska använda konjugatregeln (x-y)(x+y) = x²-y², där x = z-a och y = bi.

Jag kan inte alls se hur jag kommer vidare till ursprungsformeln med p och q. Jag förstår liksom inte vad som blir vad eller hur det blir så

1. Du har andragradsekvationen z²+pz+q=0.
2. Om du använder pq-formeln får du de båda rötterna $z_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$.
3. Vi sätter $-\frac{p}{2}=a$ och $\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}=bi$ (rot-uttrycket är ju negativt), så att det blir lite mer överskådligt.
4. Vi kan nu skriva ekvationen z²+px+q= 0 som (x-(a+bi))(x-(a-bi)) = 0.
5. Nu vill vi kunna använda konjugatregeln för att kunna förenkla HL. Då vill vi ha en parentes med "nånting plus nåntingannat" och en parentes med "nånting minus nåntingannat". Om vi låter (x-a) vara lika med "nånting" och bi vara lika med "nåntingannat" så funkar det.

Vilka punkter är du med på?

Evanescos skrev:

Jag kan inte alls se hur jag kommer vidare till ursprungsformeln med p och q. Jag förstår liksom inte vad som blir vad eller hur det blir så

Vilket/vilka av följande påståenden är du inte med på?

1. Om ekvationen z²+pz+q = 0 har rötterna z₁ och z₂ så kan z²+pz+q skrivas (z-z₁)(z-z₂)
2. Om z₁ = a+bi och z₂ = a-bi så är (z-z₁)(z-z₂) = ((z-a)+bi)((z-a)-bi)
3. Om vi nu sätter x = z-a och y = bi så kan uttrycket skrivas (x+y)(x-y)
4. Med hjälp av konjugatregeln kan uttrycket då skrivas x²-y²
5. Om vi byter tillbaka från x och y så blir uttrycket (z-a)²-(bi)²
6. Om vi utvecklar kvadraterna blir uttrycket z²-2az+a²+b²
7. Det betyder att z²+pz+q = z²-2az+a²+b²
8. Det betyder att p = -2a och att q = a²+b²
9. Eftersom a och b är reella så är även p och q reella

Tack!

Det jag hade svårt att förstå var att q kunde vara a²+b². Jag fastnade i att det behövde bli antingen a eller b. Nu har jag löst det genom pq-formeln och fått svaren a+bi och a-bi V.S.V

OK bra, men har du även lyckats visa att både p och q är reella?

Yngve skrev:

OK bra, men har du även lyckats visa att både p och q är reella?

Jag skrev att om man har reella tal framför z och som konstant så kommer de komplexa lösningarna komma i konjugerade par. Hur skulle det ha visats? 

OK, men det du skulle visa var det omvända, nämligen att om rötterna kommer i komplexkonjugerade par så är p och q reella.

Jag tycker att det enklaste sättet att visa det är genom de samband mellan p, q, a och b som framkom i punkt 8 i svar #10.

Där görs det tydligt att om både a och b är reella så är även p och q reella.