Bevisa "Varje linje i planet svarar mot en ekvation på form Ax +By +C = 0"
Jag håller på att studera linjär algebra från boken Linjär Algebra Grundkurs av Rikard Bogvad. I boken har han satser som han sedan bevisar. En av satserna är att "Varje linje i planet svarar mot en ekvation på form Ax +By +C = 0". Jag har bifogat beviset som bild då det är format som jag ej vet hur jag ska uttrycka här.
Frågan jag har är, vad är det han gör? Jag förstår de matematiska operationerna han gör men det verkar som att han bara multiplicerar och ändrar variablar så att han kan säga vad han vill. Jag förstår att (x, y) given i första meningen är linjen l och att (a, c) är en punkt samt att (b, d)t är en vektor u som tillsammans med (a, c) bildar linjen l. Men sedan att han multiplicerar den ena ekvationen med d och den andra med b. Varför? Vad gör detta? Sedan subtraherar han den andra ekvationen från den första, varför då? Ofta när jag försöker dra sådana hära saker på prov så åker jag på en "1=1" eller "1=0". Det finns ju ingen förklaring till vad det är han faktiskt utrycker med varje steg och hur man kommer fram till just de stegen.
Hans utgångspunkt är att om a,b,c,d är reella tal, så är mängden av alla punkter av typen (a,c)+(b,d)t där t är ett reellt tal, en linje. Hans mål är att visa att det finns reella tal A,B,C sådana att den mängden kan uttryckas som "mängden av alla (x,y) sådana att Ax+By+C=0".
Notera att den ekvation han vill få fram inte innehåller parametern t. Han vill därför hitta en ekvation som kan härledas från vektorekvationen (x,y)=(a,c)+(b,d)t, och som inte innehåller t. Det första han gör är att skriva ut komponenterna av vektorekvationen (x,y)=(a,c)+(b,d)t, så att han får två "vanliga" ekvationer, x=a+bt och y=c+dt. När man vill bli med en term som förekommer i två ekvationer kan man ta den ena ekvationen minus den andra. Men vi kan inte bli av med t på det sättet. Problemet är att koefficienten för t är olika i de två ekvationerna. Så han funderar på om det går att multiplicera ekvationerna med något som gör att koefficienten för t blir samma i de två ekvationerna. Han inser då att om vi multiplicerar den första med d och den andra med b så blir bd koefficienten för t i båda ekvationerna. Så han gör de två multiplikationerna, och subtraherar den ena ekvationen från den andra. Detta ger oss dx-by=ad-bc, vilket kan skrivas om som dx+(-b)y+(bc-ad)=0. Nu är det bara att definiera A=d, B=-b och C=bc-ad.
