Bevisa utan logaritmlagar

Konstigt formulerad fråga! Vad menas med logaritmlag i det här sammanhanget? 

Det enda jag kan komma på är en grej som jag egentligen ogillar, nämligen att man säger att logaritmlagarna är själva formeln, men definitionen av en logaritm är något helt annat.

Då skulle $b^{\left({\log }_b\left(n\right)\right)}=n$ vara en "logaritmlag", medan definitionen av en logaritm ("logaritmen för n i basen b är det tal som ger n som resultat om man upphöjer b till det talet") inte är en "logaritmlag". På så sätt kan man använda sig av definitionen av en logaritm i stället för formlerna.

Anledningen till att jag inte gillar det sättet är att jag tycker det är en falsk skillnad mellan "lagar" och definitioner. Men något annat sätt kommer jag inte på.

Jag är inte säker på frågan men skulle det vara så att följande lagar

$$\begin{gathered} lg(x*y)=lg\left(x\right) +lg\left(y\right) \\ lg\left(\frac{x}{y}\right) = lg\left(x\right) - lg\left(y\right) \end{gathered}$$

inte ska användas. Istället ska uttrycket bevisas ovan med definitionerna för logaritmen som exempelvis

$$\begin{gathered} y = 3^x och l{g}_3\left(y\right) = x för y>0 \\ y =\hspace{0.17em}{3}^{l{g}_3\left(y\right)} \end{gathered}$$

Med logaritmlagar syftade jag på de som ofta kallas för ”de tre logaritmlagarna”, d.v.s.

1. 10^(lg a) = a

2. lg a + lg b = lg (a x b)

3. lg a - lg b = lg (a/b)

Och i förra inlägget skrev jag log_3. Med detta avses log för bas 3.

Lite osäker på den första om det är en lag (kan ha fel).

Men dem som jag känner igen är

 $$\begin{gathered} lg(x\cdot y)=lgx+lgy \\ lg(x/y)=lgx-lgy \\ lg{x}^a=a\cdot lgx \end{gathered}$$ 

Stenenbert skrev:

Med logaritmlagar syftade jag på de som ofta kallas för ”de tre logaritmlagarna”, d.v.s.

1. 10^(lg a) = a

2. lg a + lg b = lg (a x b)

3. lg a - lg b = lg (a/b)

Och i förra inlägget skrev jag log_3. Med detta avses log för bas 3.

Men hur är din uppgift formulerad? Står det explicit "utan logaritmlagarna" eller är det en uppgift du har konstruerat själv?

Nja, detta är uppgiften:

Och detta rött markerade från facit förstod jag inte hur man räknade ut och gick tillväga med:

Detta röda markerade är ju uppenbart ifall man tillämpar regeln log a^b = b log a. Men utan detta vet jag ej. Det måste ju finnas något annat sätt att bevisa likheten.

Stenenbert skrev:

Nja, detta är uppgiften:

Och detta rött markerade från facit förstod jag inte hur man räknade ut och gick tillväga med:

Detta röda markerade är ju uppenbart ifall man tillämpar regeln log a^b = b log a. Men utan detta vet jag ej. Det måste ju finnas något annat sätt att bevisa likheten.

Säg att du har $l{g}_a\left(a^x\right)$vad får du då? Eller $l{g}_{10}\left({10}^3\right)$

Regeln log a^b = b log a gäller om det är en potens.

Exempelvis log(x^3) = 3 log (x)