Bevisa utan deriveringsregel
Hej, jag behöver hjälp med följande uppgift:
"Enligt definitionen av talet e är f(x)=e^x lika med sin egen derivata. Visa utan att använda deriveringsregeln D(k*e^x) = k * e^x att om
f(x) = 8e^x, så är f'(x) = 8e^x"
Jag började med att ställa upp ett uttryck med hjälp av derivatans funktion, men mitt slutgiltiga uttryck blev
Men e^h blir 1 då h går mot 0 och då blir täljaren 0. Dessutom kan nämnaren inte vara noll. Jag såg att facit inte använde sig av denna metod, utan de skrev (e^x + e^x.....) 8 gånger totalt som ett bevis.
Skulle någon kunna förklara hur man ska gå tillväga på den här uppgiften?
Tack på förhand!
Du får i uppgiften veta att om f(x)=e^x så blir f'(x)=e^x. Det får du alltså använda dig av.
Sen frågar de vad derivatan av f(x)=8e^x blir.
f(x)=8e^x=e^x+e^x+e^x+e^x+e^x+e^x+e^x+e^x eller hur?
Så då kan du bara derivera varje term för sig.
Lite dum uppgift kanske.
Om man gör som du gjorde kan man använda l'Hospitals regel (har ni läst om den?)
Nej, den regeln känner jag tyvärr inte till. Kanske värt att kolla upp den?
Tack för din förklaring nu förstår jag hur facit kan ha resonerat, trots att det känns som att svaret står i uppgiften!
joculator skrev:Du får i uppgiften veta att om f(x)=e^x så blir f'(x)=e^x. Det får du alltså använda dig av.
Sen frågar de vad derivatan av f(x)=8e^x blir.
f(x)=8e^x=e^x+e^x+e^x+e^x+e^x+e^x+e^x+e^x eller hur?
Så då kan du bara derivera varje term för sig.Lite dum uppgift kanske.
Om man gör som du gjorde kan man använda l'Hospitals regel (har ni läst om den?)
Första gången jag träffade på l'Hospitals var i envariable, i matte 3 så har man bara "the power rule".
Se om du kan visa med hjälp av derivatans definition att om f(x) har derivata f'(x) och c är en konstant, så har funktionen g(x) = c*f(x) derivatan g'(x) = c*f'(x).
Dr. G skrev:Se om du kan visa med hjälp av derivatans definition att om f(x) har derivata f'(x) och c är en konstant, så har funktionen g(x) = c*f(x) derivatan g'(x) = c*f'(x).
Intressant, är f(x) en känd funktion?
Jag skulle nämligen vilja försöka mig på ett bevis med hjälp av derivatans definition.
Ditt slutgiltiga uttryck som du beskrev först är helt rätt.
Nästa steg är att du kan konstatera att 8ex inte påverkas av att h går mot noll så den konstanten kan du sätta framför uttrycket så här:
att går mot 1 då h går mot noll är i min lärobok bevisat på det sättet att man först har provat
och konstaterat att vid h = 0,0001 så blir resultatet c:a 0,69
blir c:a 1,1 vid h = 0.0001 därav drar de slutsatsen att mellan 2 och 3 borde det finnas ett tal som ger exakt 1 till svar.
Det är talet e = 2,7128...
Därför blir och i din ekvation ovan blir resultatet och det var vad du ville visa.
TheThinker skrev:Dr. G skrev:Se om du kan visa med hjälp av derivatans definition att om f(x) har derivata f'(x) och c är en konstant, så har funktionen g(x) = c*f(x) derivatan g'(x) = c*f'(x).
Intressant, är f(x) en känd funktion?
Jag skulle nämligen vilja försöka mig på ett bevis med hjälp av derivatans definition.
Ja, f(x) är någon känd deriverar funktion.
Ställ upp differenskvoten för g(x). Uttryck den i c och f och låt h gå mot 0.
